Deine Frage ist etwas seltsam. Es klingt bei Dir so, als müsste man für zwei Gruppen immer einen Homomorphismus definieren. Das ist aber nicht notwendig, die Gruppen stehen für sich.

Die Frage stellt sich umgekehrt: ist eine gegebene Abbildung ein Homomorphismus? Wenn ja, schön, dann kann man damit erst einmal viel mehr anfangen als wenn nicht, weil man die algebraischen Strukturen besser benutzen kann, um irgendetwas zu zeigen, was einen interessiert. Meist gibt es auch viele Homomorphismen. Aber natürlich existieren oft auch Abbildungen zwischen Gruppen, die keine Gruppenhomomorphismen sind.

In dem Video wird ein ganz bestimmter Homomorphismus als Beispiel erklärt. Es gibt aber unendlich viele, denn für jedes \(\alpha\in\mathbb{R}\) ist \(x\mapsto\mathrm{e}^{\alpha x}\) ein Gruppenhomomorphismus zwischen den Gruppen \((\mathbb{R},+)\) und \((\mathbb{R\setminus\{0\}},\cdot)\). Übrigens ist die Identität, anders als Du oben behauptest, keine Abbildung zwischen diesen Gruppen, denn \(0\) existiert in der multiplikativen Gruppe nicht. Andererseits ist für \(\beta\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\) die Abbildung \(x\mapsto\beta\mathrm{e}^x\) wohldefiniert, aber kein Gruppenhomomorphismus.