Erstmal zu a), zum Doppelintegral:
das erste ist richtig, das zweite nicht. Beachte, es muss ja eine Zahl rauskommen. Das tut es beim zweiten nicht.
Beachte die Notation: $\int\limits_a^b\int\limits_c^d f(x,y)\, dx dy$ heißt: $x$ läuft von $c$ bis $d$ und $y$ von $a$ bis $b$. Das innere Integral ist $dx$, d.h. die Fläche wird in $x$-Richtung durchlaufen, die Fläche wird also  in waagerechten Streifen durchlaufen.
Beim Integral mit $dydx$ alles genau andersrum: durchlaufen in senkrechten Streifen. Das hast Du richtig gemacht.
Für $dxdy$ musst Du zuerst die Grenzen für $y$ finden (als Zahlen!), und dann die Fläche waagerecht durchlaufen. Dabei hängen die $x$-Grenzen dann von $y$ ab.