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Zeige der Reihe nach:
- \(A\) hat nur den Eigenwert \(0\)
- Die Aussage gilt für ein Jordankästchen zum Eigenwert \(0\) (Tipp: Elementarmatrizen, Gauß-Eliminierung)
- Die Aussage gilt für einen Jordanblock zum Eigenwert \(0\)
- Die Aussage gilt für \(A\)
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slanack
Lehrer/Professor, Punkte: 4K
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Überlege Dir doch einmal beispielhaft, wie \(A+A^2\) aussieht, wenn \(A\) ein Jordankästchen zum Eigenwert \(0\) ist, z.B. für ein \(3\times3\)-Kästchen, und versuche, in diesem Spezialfall die Ähnlichkeit zu zeigen. Nachher kann man es leicht auf den allgemeinen Fall übertragen.
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slanack
23.11.2020 um 22:55
Okay, wenn ich es so betrachte, dann ist A^2 immer im Rang kleiner als A, weshalb nach: A+A^2, der Rang von A stehts = dem Rang A^2+A ist. Das passt auch zusammen mit dem Satz aus der Vorlesung. Jedoch gibt es ja auch nilpotente Matritzen, welche nicht in der praktischen oberen Dreiecksform oder gar Jordanform stehen, demnach kann ich hier ja auch nicht mit dem Rang argumentieren richtig? Da hakt es bei mir noch im Kopf , vielleicht habe ich auch was falsch verstanden verstanden:D
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integrationboy
24.11.2020 um 00:00
Das stimmt, allerdings folgt aus Ranggleichheit noch nicht Ähnlichkeit, also Vorsicht! Darum ist es am Besten, erst einmal mit der jordanschen Normalform zu argumentieren, wo man die Ähnlichkeit explizit zeigen kann, und danach rückzuübersetzen.
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slanack
24.11.2020 um 11:31
Okay danke für den Tipp, sollte ich die Ähnlichkeit dann am besten über das Rang Argument zeigen, oder doch eher S A S^-1
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integrationboy
24.11.2020 um 15:13
Letzteres.
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slanack
24.11.2020 um 18:16
Dennoch Kann Ich mir nicht vorstellen wie ich die Aussage auf Jordankästchen bzw. Jordanblöcke zeigen kann. ─ integrationboy 23.11.2020 um 22:36