Analysis Konvergenzradius bestimmen

Aufrufe: 69     Aktiv: 27.03.2021 um 14:57

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Hallo,

ich habe Folgendes Problem: Ich versuche gerade Konvergenzradien zu bestimmen und da ist mir aufgefallen, dass wir in der Vorlesung einen anderen Weg gewählt haben, als es üblich ist (zumindest wird es sonst überall im Internet und bei Freunden an der anderen Uni anders gemacht). Ich versuche mal, das an einem Beispiel klar zu machen:

Gegeben ist die Reihe \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}(t-2)^n\)

Um den Konvergenzradius zu bestimmen habe ich mit dem Wurzelkriterium gearbeitet und hier kommt der Unterschied: Unser Professor hat beim Berechnen immer alles mit unter die Wurzel genommen, also:

\(\underset{n\rightarrow \infty}{lim}\sqrt[n]{|\frac{(t-2)^n}{2^n}}|\)

aber in der Lösung steht es so (das ist ein Aufgabe einer anderen Uni, an der einer meiner Freunde studiert):

\(\underset{n\rightarrow \infty}{lim}\sqrt[n]{|\frac{1}{2^n}}|\)

Das Problem ist, ich komme mit der Methode meines Professors auf \(R=4\)
in der Lösung steht aber \(R=2\).

Nun bin ich verwirrt... was ist jetzt richtig?

Kann mir jemand helfen?

Danke im Voraus und LG
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2 Antworten
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Es gibt 2 Formeln zur Berechnung des Konvergenzradius einer Reihe \(\sum_{i=0}^\infty a_n (x-x_0)^i\), nämlich \(R_1=lim_{n\rightarrow \infty }|\frac{a_n}{a_{n+1}}|\) bzw. \(R_2=\frac{1}{limsup_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{|a_n|}}\)  
Hier kommt infrage: \(R_2=\frac{1}{limsup_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{\frac{1}{2^n}}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\)
Damit ist der Konvergenzbereich der Reihe \(-2<x-2<2\)
Jetzt musst du nur noch den Konvergenzbereich für x bestimmen!
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Danke für die Antwort!   ─   physikstudent(1.s) 27.03.2021 um 14:57

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Wie so oft in der Mathematik gibt es nicht die Lösung. Es gehen beide Wege. Beim Weg Deines Profs wird die Potenzreihe wie eine normale Reihe behandelt, daher auch die Summandenfolge als ganzes verarbeitet. Dabei braucht man auch keinerlei Kenntnisse über Potenzreihen. Man kommt dann (bei richtiger Rechnung, wobei hier eigentlich kaum von Rechnung geredet werden kann) auf die Bedingung \(|t-2|<2\), also \(R=2\). Hier fällt also zuerst der Konvergenzbereich an, und danach kann man bei Bedarf noch den K-Radius ausrechnen.
Die andere Methode benutzt direkt eine Formel für den K-Radius, den man dann als \(R=2\) erhält und danach kann man bei Bedarf noch den K-Bereich ausrechnen.
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Hallo,

ersteinmal danke für die Antwort, das Meiste ist jetzt klar!
Eine Frage habe ich aber noch und zwar verstehe ich nicht, wieso man \(|t-2|<2\) nicht weiter umformt.
Muss ich nicht eigentlich vollständig nach \(t\) umformen? Dann würde ich doch \(|t|<4\) bekommen und damit den Radius \(R=4\) oder nicht?

Vielen Dank und LG
  ─   physikstudent(1.s) 27.03.2021 um 13:49

Nein, da ist bei Deiner Umformung was schief gegangen. Man kann es umformen, aber dann richtig. Ich empfehle, gar nicht umformen, sondern an die Zahlengerade denken: |t-2| ist der Abstand von t zu 2, also: |t-2|<2 ist erfüllt von allen Punkte (auf der Zahlengeraden), die von 2 den Abstand weniger als 2 haben. Übe diese Überlegung mal, das kommt andauernd vor, nicht nur bei Potenzreihen.
  ─   mikn 27.03.2021 um 14:01

Alles klar, mit dem Zahlenstrahl ist es tatsächlich einfacher, sich das zu überlegen, vielen Dank!
  ─   physikstudent(1.s) 27.03.2021 um 14:56

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