Umformung von Potenzreihen

Aufrufe: 56     Aktiv: 05.04.2021 um 16:40

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Hallo ,meine Frage bezieht sich auf die Thermoumformung. Bei der Potenzreihe soll die Konvergenz nachgewiesen werden. Die haben den umgeformten Therme bereits angegeben ,aber ich weiß leider absolut nicht wie sie darauf gekommen sind. Vielleicht kann mir einer Weiterhelfen?
Danke im vorraus
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Es steht nicht dort, dass man direkt mit dem Hinweis anfangen soll. Also fang an, Wurzelkriterium, und denk an den Trick bei Folgen, Wurzeln im Zähler durch Erweitern mit Blick auf die dritte binomische Formel zu beseitigen.
Das wichtigste aber: Fang an. Dann ergibt sich das weitere. Wenn's hakt, gibt Rückmeldung wie weit Du gekommen bist.
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Das hat auf jeden Fall geholfen ,wenn ich mich nicht verrechnet habe müsste der Konvergenz Radius =3 sein oder ? Und in der Aufgabe steht, ich soll zeigen , dass die Reihe für x=3 absolut konvergiert. Da komme ich dann auf den Grenzwert von 1 aber soweit ich weiß kann man in dem Fall keine genaue Aussage über Konvergenz treffen?   ─   benedikt1 05.04.2021 um 14:04

Ja, das ist alles richtig, KR=3 habe ich auch, und auf dem Rand, also x=3, x=-3 lässt sich ohne weiteres keine Aussage treffen.   ─   mikn 05.04.2021 um 14:26

Ok, es geht, wenn man nicht das Wurzelkriterium nimmt, sondern das Majorantenkriterium (wie in der anderen Antwort gemeint).
Man nimmt den ganzen Summanden, also \(\text{Bruch}\cdot |x|^n\), formt um und bringt die Abschätzung aus dem Hinweis ein. Da man mit den Beträgen arbeitet, braucht man, dass der Bruch aus dem Hinweis positiv ist (was aber offensichtlich ist). Man erhält: \(\text{Summand}\le (\frac{|x|}3)^n\frac1{n^2}\). Damit folgt Konvergenz für \(|x|\le 1\) nach Majorantenkriterium.
Sorry für den nicht-zielführenden Hinweis mit dem Wurzelkriterium, die dabei verwendeten Umformungen braucht man aber sowieso.
  ─   mikn 05.04.2021 um 16:02

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(1) mit der 3. Binom. Formel erweitern, so dass im Zähler die Wurzeln verschwinden

(2) in der Klammer jeweil Zähler und Nenner durch n teilen, (unter den Wurzeln dann n²)

(3) die 1/3^(2n) aufteilen, 3^n in die Klammer multiplizieren und mit dem Zähler kürzen.

Übrig bleiben vor der Klammer nach dem Summenzeichen der Faktor x^n/(n² * 3^n)  (falls ich keinen Rechenfehler habe ;) )

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