Metrik wird von keiner Norm induziert

Aufrufe: 321     Aktiv: 18.04.2022 um 10:23

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Servus,
ich habe hier im $\mathbb{R}^2$ die folgende Metrik gegeben: $d(x,y)= \sqrt {|x_1-y_1|}+|x_2-y_2|$ mit $x = (x_1,x_2), y =(y_1,y_2) \in \mathbb{R}^2$. Ich soll zeigen, dass d von keiner (euklidischen) Norm $|| \cdot ||$ induziert wird, also dass es keine Norm mit:  mit $d(x,y)=||x-y||$ gibt.

Hierzu habe ich eine Verständnisfrage zur Herangehensweise. Auf mich wirkt diese Schreibweise Metrik=Norm irgendwie sehr verwirrend, ich kann mir irgendwie nicht vorstellen, was darunter gemeint ist. Ich habe mir dazu Videos angeschaut, wo die ganzen Induktionen vom Skalarprodukt zum topologischen Raum auch grafisch veranschaulicht werden, ich kann aber mit dem Ausdruck $d(x,y)=||x-y||$ irgendwie rechnerisch nicht wirklich viel anfangen. Könnte mir da ggf. jemand eine kleine Starthilfe geben?

Vielen Dank für eure Hilfe und liebe Grüße.
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Wenn \((X,||\cdot ||)\) ein normierter Raum ist dann induziert die Norm eine Metrik \(d\) mit \(d(x,y)=||x-y||\). Der Abstand von \(x\) und \(y\) ist also die Norm von \(x-y\). Das es sich bei \(d\) tatsächlich um eine Metrik handelt folgt sehr leicht aus den Normaxiomen (rechne das ruhig mal nach, sehr einfach!).
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Vielen Dank erst einmal für deine Antwort.
Dass es sich bei dem Ausdruck tatsächlich um eine Metrik handelt, habe ich bereits in der Aufgabe davor nachgewiesen. Dein erster Satz steht in dieser Form auch in meinem Skript, was ich mich halt irgendwo frage, wie ich das jetzt auf meine konkrete gegebene Metrik anwenden kann? Konkret: Wenn $(X, || \cdot ||)$ ein normierter Raum ist, dann induziert die Norm eine Metrik d mit $d(x,y)=||x−y||$. Nu ist meine Metrik aber nicht $d(x,y)=||x−y||$, sondern $d(x,y)= \sqrt {|x_1−y_1|}+|x_2−y_2|$. Ich weiß nicht, ob ich gerade aufm Schlauch stehe, aber genau da sitzt halt meine Verständnisschwierigkeit, wie ich diesen allgemeinen Satz auf eine konkrete Metrik anwenden kann. Wenn du da ggf. ein Bsp hättest, wo man das sehen kann (muss ja nicht zwangsläufig die Aufgabe sein), wäre das evtl. hilfreich.
~Justus
  ─   justs68pi 14.04.2022 um 19:00

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Okay, gut, dann hast du schonmal verstanden, dass jeder normierte Raum auch ein metrischer Raum ist. Diese Aufgabe ist jetzt umgekehrt und liefert ein Beispiel dafür, dass nicht jede Metrik von einer Norm induziert wird. Warum das nicht geht, ist anschaulich schön klar, lass uns das aber nun beweisen. Nehmen wir an, es gibt eine Norm \(||\cdot||\), so dass \(||x-y||=d(x,y)\), es ist dann für alle \(
a\in X\) die Norm \(||a||=||\frac a2+\frac{a}2||=d(\frac a2,-\frac a2)\). Prüfe hierfür nun Normaxiome
  ─   mathejean 14.04.2022 um 19:10

Das verstehe ich jetzt aber nicht so ganz, das ist doch ein normierter Raum, dann wird doch durch $d(x,y)=||x-y||$ eine Metrik auf den Vektorraum definiert. Warum muss ich dann die Normaxiome prüfen? Oder soll das ganze jetzt ein metrischer Raum sein? Und wenn ja, soll ich dann prüfen ob $||a||=||\frac{a}{2}+\frac{a}{2}||=d(\frac{a}{2},-\frac{a}{2})$ eine Norm ist, oder soll ich das nur zur Hilfe nehmen, um zu prüfen ob $d(x,y)=||x-y||$ eine Norm ist?   ─   justs68pi 16.04.2022 um 12:32

Geg. ist R^2 als metrischer Raum mit Metrik d. Du sollst zeigen, dass d nicht von einer Norm herrühren kann (das steht in der Aufgabe).
Die Beweisidee von mathejean ist ein indirekter Beweis. Und Du sollst hier nicht die Normaxiome prüfen, die sind ja erfüllt, weil es nach Annahme eine Norm ist. Vielmehr solltest Du die Normeigenschaften benutzen um einen Widerspruch zu erzeugen. Probier mal was aus.
  ─   mikn 16.04.2022 um 12:54

Vielen Dank für deine Antwort mikn,
es ist mir total unangenehm, aber ich fürchte das beantwortet immernoch nicht den Kern meiner Frage. Mathejean hat vorgeschlagen das Ganze mittel der Eigenschaften einer Norm zum Widerspruch zu führen, aber ich verstehe ja eben nicht, worauf ich die Eigenschaften anwenden soll. Ganz konkret:

$d(x,y)= \sqrt {|x_1−y_1|}+|x_2−y_2|$ ist eine Metrik, ich sehe hier keine Möglichkeiten da irgendwelche Normeigenschaften anzuwenden. Das ist ja auch nicht die euklidische Metrik, weshalb ich da jetzt nicht groß den Zusammenhang sehe.

$||x-y||$ war nach Vorraussetzung eine Norm, das hattest du ja schon geschrieben, da gibt es nichts mit den Axiomen zu zeigen

und $d(x,y)= \sqrt {|x_1−y_1|}+|x_2−y_2| = ||x-y||$ ist eine Gleichung, da wüsste ich jetzt auch nicht wo ich irgendwelche Normeigenschaften drauf anwende.

Ich würde gerne wissen auf welchen dieser Ausdrücke ich die Normeigenschaften anwenden muss, um das zu einem Widerspruch zu führen und v.a. warum. Könntest du/ihr das ggf. an einer der 3 Normaxiome zeigen, was ihr meint, sodass ich eine konkrete Idee für die restlichen 2 bekomme?

LG und frohe Ostern, Justus
  ─   justs68pi 17.04.2022 um 11:05

mathejean hat Dir ja einen Tipp gegeben, ich hab Dir die Idee nochmal erklärt. Anscheinend willst Du aber was anderes machen, das verstehe ich nicht.
Es fängt also an mit: Angenommen, d stammt von einer Norm, also $d(x,y)=\|x-y\|$, dann weiter wie bei mathejean.
  ─   mikn 17.04.2022 um 12:26

Ich schreibe mal eben was ich jetzt dazu habe:
$$ \text{N1) }||x||=d(x,0)=\sqrt{|x_1|}+|x_2| = 0 \iff x_1,x_2=0 \iff x=0 \text{ , ist erfüllt }$$
$$ \text{N2) }||\lambda x||=d(\lambda x,0)=\sqrt{|\lambda x_1|}+|\lambda x_2| = \sqrt{| \lambda ||x_1|}+|\lambda||x_2| = \sqrt{|\lambda|} \cdot \sqrt{|x_1|}+ |\lambda||x_2| \neq |\lambda| \cdot (\sqrt{|x_1|}+|x_2|) = \lambda \cdot d(x,0) \Rightarrow \text{ Bedingung nicht erfüllt}$$

$$\text{N3)} ||x-y||=d(x,y)=\sqrt{|x_1−y_1|}+|x_2−y_2| \leq \sqrt{|x_1|}+ |y_1|+\sqrt{|x_2|}+|y_2| = d(x,0)+d(0,y) = ||x||+||y|| \text{ ,ist erfüllt}$$

Durch 2) wird also die Annahme widerlegt. Joa jetzt natürlich wieder die Frage an euch: Stimmt das so?
  ─   justs68pi 17.04.2022 um 13:34

\(||x||=d(\frac x2,-\frac x2)\), sonst wäre \(d\) nicht von \(||\cdot ||\) induziert.   ─   mathejean 17.04.2022 um 19:45

Ach so klar, sorry!

$$\|\lambda x\|=d(\lambda \frac{x}{2}, \lambda (-\frac{x}{2}))=\sqrt{\left|\lambda \frac{x}{2}+\lambda \frac{x}{2}\right|}+\left|\lambda \frac{x}{2}+\lambda \frac{x}{2}\right|=\sqrt{|\lambda|\left|x\right|}+|\lambda|\left|x\right|=\sqrt{|\lambda|} \cdot \sqrt{\left|x\right|}+|\lambda|\left|x\right| \neq|\lambda| \cdot\left(\sqrt{\left|x\right|}+\left|x\right|\right)=\lambda \cdot d(\frac{x}{2}, \lambda (-\frac{x}{2})) = \lambda \cdot ||x||$$
\( \Rightarrow \) Bedingung nicht erfüllt

Meinst du das so?
  ─   justs68pi 17.04.2022 um 20:23

Sehr gut, das Prinzip stimmt jetzt. Beachte aber, du musst \(x=(x_1,x_2)\) oder so einsetzen.   ─   mathejean 17.04.2022 um 21:36

Ist Dir das Prinzip eines indirekten Beweises klar? Nach Annahme ist N1, N2, N3 erfüllt und das muss daher, wie schon vorher gesagt, NICHT nachgerechnet werden. Gesucht ist ein Widerspruch. Wenn N2 einen Widerspruch liefert, warum rechnest Du dann noch N3 und auch N1 nach?
Wenn der Tipp von mathejean lautet $\|x\|=d(\frac{x}2,-\frac{x}2)$ zu betrachten, warum setzt Du dann $\|\lambda x\|=...$ an? Die Tipps zielen auf eine einfache schnelle Lösung. Ist das auch in Deinem Interesse?
  ─   mikn 18.04.2022 um 00:37

N1) und N3) nachzurechnen war mathematisch nicht notwendig, sondern einfach nur so, ohne weiteren Grund. Ja mir ist das Prinzip eines indirekten Beweises klar, dafür muss man aber auch den entsprechenden Widerspruch finden, wenn man das trotz Tipp offentsichtlich nicht schafft (und das habe ich ja in den letzen 3 Nachfragen versucht herauszufinden) dann ist das halt unvorteilhaft. Den Tipp von mathejean im ersten Versuch nicht umzusetzen war ein versehen. Ich bin nicht nur an einer schnellen Lösung interessiert, sondern v.a. daran die Herangehensweise zu verstehen, mir ist die Lösung da erstmal relativ, zumal die Abgabe hiervon letze Woche war und es mir eigentlich nur ums Verständnis ging.   ─   justs68pi 18.04.2022 um 08:46

Vielleicht kam Verwirrung wegen meiner schlechten Notation, ich hätte lieber \(\frac 12x\) statt \(\frac x2\) schreiben sollen   ─   mathejean 18.04.2022 um 10:23

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