Moin user7a124d.
Probiere es doch einmal mit den kanonischen Einheitsvektoren, also \(\vec{e_1}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{e_2}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\).
Kommst du damit weiter?

Grüße

Du brauchst hier auch gar nicht \(B\) berechnen, du kannst hier ganz einfach die Linearität ausnutzen. Dies geht hier vor allem so schnell, weil du bereits die Bilder der Basisvektoren gegeben hast. Um es besser zu veranschaulichen kannst du dir das ganze als einen Homomorphismus \(f\) mit \(f(x)=B\cdot x\)  vorstellen. Gegeben hast du jetzt \(f(e_1)=0\) und \(f(e_2)=(1,-2)\). Aufgrund der Linearität von \(f\) gilt jetzt: $$f(2,3)=f(2\cdot e_1 + 3\cdot e_2)=2\cdot f(e_1)+3\cdot f(e_2)=2\cdot 0 + 3 \cdot (1,-2)=(3,-6).$$.