Also wir haben dazumals das Ober/Unterintegral gebraucht um den Integralbegriff zu definieren, also für uns war der Limes dieser Riemannschen Ober-/Untersummen also das Ober-/Unterintegral die Definition des Integrals, falls diese beiden übereinstimmen. Damit kann man natürlich immer arbeiten, denn es ist ja die Definition, nur ist das ziemlich aufwändig und manchmal sogar unnötig kompliziert. Daher habt ihr dann immer gewisse Kriterien die euch das Leben erleichtern, das sind aber KEINE Definitionen. Wenn du z.b. weisst dass eine beschränkte, stetige funktion $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ integrierbar ist, ist das keine Definition, sondern das ist ein Satz den ihr mit Hilfe von anderen Sätzen oder eventuell auch der Definition bewiesen habt. 

Das ist aber immer so im Studium, also du fängst mit einem Thema an, dann definierst du dir zuerst mal einen Begriff, nun sind aber die Definition selbst immer ziemlich mühsam um damit zu arbeiten, also versuchts du Sätze aufzustellen (Kriterien) die dir das Leben erleichtern. Um diese Sätze beweisen zu können benutzt du meistens dein Vorhandes Wissen und natürlich die Definition. Doch danach kannst du den Satz ganz normal benutzen und er ist meistens einfacher zu verwenden als die Definition. Dabei ist aber trozdem wichtig dass du dir immer im Klaren bist, dass dies ein Satz ist und keine Definition.
Verstehst du was ich meine?