Riemannintegrierbarkeit

Aufrufe: 397     Aktiv: 13.01.2022 um 23:14

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Ich finde extrem viele verschiedene Definitionen, wann eine Funktion riemann-integrierbar ist und wann nicht. Ist f riemann-integrierbar, wenn f stetig ist oder riemann-integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral übereinstimmen oder an welches Kriterium muss mich halten, um genau prüfen zu können, ob  meine Funktion riemann-integrierbar ist?
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Was habt ihr in der Vorlesung gehabt?
  ─   karate 13.01.2022 um 15:33

irgendwie beides. Also zuerst irgendwann dass man schauen muss, ob Ober und Unterimtegral übereinstimmen und dann Stetigkeit...   ─   anonym96b0c 13.01.2022 um 18:00
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1 Antwort
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Also wir haben dazumals das Ober/Unterintegral gebraucht um den Integralbegriff zu definieren, also für uns war der Limes dieser Riemannschen Ober-/Untersummen also das Ober-/Unterintegral die Definition des Integrals, falls diese beiden übereinstimmen. Damit kann man natürlich immer arbeiten, denn es ist ja die Definition, nur ist das ziemlich aufwändig und manchmal sogar unnötig kompliziert. Daher habt ihr dann immer gewisse Kriterien die euch das Leben erleichtern, das sind aber KEINE Definitionen. Wenn du z.b. weisst dass eine beschränkte, stetige funktion $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ integrierbar ist, ist das keine Definition, sondern das ist ein Satz den ihr mit Hilfe von anderen Sätzen oder eventuell auch der Definition bewiesen habt. 

Das ist aber immer so im Studium, also du fängst mit einem Thema an, dann definierst du dir zuerst mal einen Begriff, nun sind aber die Definition selbst immer ziemlich mühsam um damit zu arbeiten, also versuchts du Sätze aufzustellen (Kriterien) die dir das Leben erleichtern. Um diese Sätze beweisen zu können benutzt du meistens dein Vorhandes Wissen und natürlich die Definition. Doch danach kannst du den Satz ganz normal benutzen und er ist meistens einfacher zu verwenden als die Definition. Dabei ist aber trozdem wichtig dass du dir immer im Klaren bist, dass dies ein Satz ist und keine Definition.
Verstehst du was ich meine?
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Student, Punkte: 1.95K

 

Ich glaube, dass ich verstehe, was du meinst. Also verwende ich bei Aufgaben, wo ich zeigen soll, das eine Funktion Riemann-integrierbar ist nicht Ober und Unterintegral, sondern versuche zu zeigen, dass die Funktion stetig ist?
Aber das alleine reicht ja auch nicht wirklich aus, weil beispielsweise die Vorzeichenfunktion ja nicht stetig ist, aber trotzdem integrierbar. Das verwirrt mich total.
Also ich weiß immer noch nicht wirklich, wie ich vorgehe, um zu zeigen, dass f integrierbar ist.
Insbesondere habe ich keine Ahnung, wie ich das bei Funktionen beweisen soll, die Abschnittweise unterschiedlich definiert sind....
  ─   anonym96b0c 13.01.2022 um 22:34

Wenn ich beispielsweise eine Funktion auf [0,1] habe mit x -> 1 falls x e Q
und sonst 0
Da komme ich doch aber auch mit Ober und Untersumme nicht weiter oder?
  ─   anonym96b0c 13.01.2022 um 22:50

Leider gibt es wirklich nicht das eine Vorgehen für alle Probleme. Da musst du manchmal ein wenig "erfinderisch" sein was ja genau der Reiz ist. Nun zu deiner Funktion (dieses Beispliel ist wirklich ziemlich schwer für den Anfang), so wie ich das in Erinnerung habe ist das eine Einschränkung der Dirichlet-Funktion. Da kannst du wirklich zeigen dass diese nicht Riemann integrierbar ist, und das kannst du mit Ober und Untersummen machen. So wie ich es im Kopf habe brauchst du aber irgendwann sicher dass $\mathbb{Q}$ dicht in $\mathbb{R}$ liegt, bin mir aber da nicht mehr ganz sicher.   ─   karate 13.01.2022 um 23:02

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Ah ja habs kurz angeschaut ist eigentlich wirklich ziemlich kurz. Stimmt @anonym96b0c sollte einfach mal anfangen wir helfen schon. Übrigens toll wieder mal von dir zu hören:)!   ─   karate 13.01.2022 um 23:14

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