Hallo,

bei deiner Lösung verrechnest du im letzten Schritt die dritte mit der zweiten Zeile und gleichzeitig die zweite mit der dritten. Das darfst du nicht. Deine Lösung ist

\( \left( \begin{matrix} 1& 3&4&5 \\ 0& 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \)

Der Kern einer Abbildung ist ein UVR vom \( \mathbb{R}^4 \). Dieser kann natürlich auch 2 oder 3 dimensional sein. 

Dein Kern ist 2 dimensional. Aber ja um deine Frage zu beantworten es gibt unendlich viele Lösungen, aber die musst du natürlich noch angeben. Setze \( x_3 = a \) und \( x_4 = b \). Dann ergeben sich deine Lösungen.

Grüße Christian