Tangentenproblem ganzrationale Funktion

Aufrufe: 480     Aktiv: 29.01.2021 um 11:16

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Aufgabe:

Gegeben ist die ganz rationale Funktion f(x) = 2x3 + x2 - 5x.

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Grafen der Funktion f(x) an der Stelle x = 2,5
b) Die Tangenten an den Grafen der Funktion f(x) in den Punkten P1 und P2, sind parallel zur Geraden g(x) = -x + 5.
Bestimmen Sie die Koordinanten der Punkte P1 und P2.

Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, wie ich hierbei vorgehen soll.
Ich hoffe mir kann jemand ein paar Ansätze geben

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1 Antwort
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als erstes bildest du die erste Ableitung. Denn für den Anstieg \(m\) einer Tangenten im Punkt \(x_0\) gilt \(f'(x_0)=m\).

bei (a) setzt du für \(x=2,5\) ein und berechnest \(m=f'(2,5)\). Danach setzt du \(x=2,5\) und \(y=f(2,5)\) und dein eben ausgerechnet \(m\) in die allgemeine Tangentengleichung \(y=mx+n\) ein und ermittelst noch dein \(n\)

bei (b) ist \(m=-1\) gegeben. Setze also \(-1=f'(x)\) und berechne die Stellen \(x_1\) und \(x_2\), die diese Gleichung lösen. 

 

Hoffe das hilft weiter.

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Also so hier für a) ?:

f(2,5)=25

f '(x)=6x2+2x-5

f '(2,5)=37,5

P(2,5|25) und m=37,5 in y=mx+b
  ─   trite8q1 26.01.2021 um 13:33

Also a) habe ich hinbekomme. Aber bei b) weiß ich nicht wirklich wie das gemeint ist? Kannst du mir da weiterhelfen?
  ─   trite8q1 27.01.2021 um 11:58

die Tangente soll parallel zu \(g(x)\) verlaufen, damit ist \(m=-1\). Nun setzt du also die erste Ableitung gleich -1 und löst die Gleichung.
\(-1=6x^2+2x-5 \quad \Leftrightarrow \quad 0=6x^2+2x-4\)
Du erhälst zwei Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) für die Punkte \(P_1\) und \(P_2\). Um die \(y\)-Koordinaten der beiden Punkte zu ermitteln, setzt die deine Lösungen in die Ausgangsfunktion ein, also sind \(y_1=f(x_1)\) und \(y_2=f(x_2)\).
Dann kommst du auf zwei Tangenten \(t_1\) und \(t_2\). Für die Gleichungen der Tangenten fehlt dir jeweils nur noch der Wert für \(n\). Du setzt \(x_1,y_1\) und \(m\) in \(t_1(x)=y_1=m\cdot x_1+n_1\) und \(x_2,y_2\) und \(m\) in \(t_2(x)=y_2=m\cdot x_2+n_2\) ein und ermittelst jeweils \(n_1\) und \(n_2\). Hilft das weiter?
  ─   maqu 27.01.2021 um 12:39

ok   ─   trite8q1 27.01.2021 um 13:07

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