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Hallo alle zusammen,

ich dachte mir, warum nicht auch mal ein Frage stellen^^. 

 

Ich ärgere mich seit einigen Tagen mit einem (persönlichen) Problem herum und komme nicht ans Ziel. Ich dachte mir, wer hier am Silvesterabend zum Corona-Lockdown nichts besseres zu tun hat als Mathe zu machen bei dem bin ich genau richtig :D.

Mein Problem: Ich möchte die Eulersche Identität \(e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\) zeigen, indem ich die Grenzwertdarstellung für die Exponentialfunktion benutze \(\exp(x)=\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n\). Diese sollte auch für die komplexe Exponentialfunktion \(\exp: \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}\) anwendbar sein.

Ich möchte also zeigen:

\(e^{i\varphi} =\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \left(1+\dfrac{i\varphi}{n}\right)^n =\ldots =\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\)

Ich habe den trigonometrische Pythagoras für die \(1\) eingesetzt um \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) erst einmal in die Gleichung zu bekommen. Dann habe ich viel herumgespielt, bin aber immer nur auf immer komplizierter werdende Terme gekommen, welche irgendwie nicht dahin führen wo ich hin will.

Ich glaube ich bin so in meinem Denken festgebissen, dass ich keinen neuen Gedanken finden kann und keine neue Idee habe um dort weiter zu kommen. Deswegen frage ich euch liebe Community, ob ihr mir einen Input geben könnt, wo ich vllt garnicht dran denke.

Und bitte nicht solche anworten wie ih mit etwas anderem die Identitä besser beweisen. Ich möchte schauen, ob ich es mit der Grenzwertdarstellung der \(e\)-Funktion beweisen kann.

 

Danke euch fürs mitüberlegen und wünsche einen guten Rutsch ;)

gefragt 2 Wochen, 2 Tage her
maqu
Punkte: 2.02K

 
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2 Antworten
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Welche Definition von \(\sin\) und \(\cos\) sollen denn zum Zuge kommen dürfen? Es gibt mehrere Funktionenpärchen, die den "Pythagoras" erfüllen. Es müssen also noch andere Eigenschaften in den Beweis eingehen. 

Nutzt man die Reihendefinition so kann man zeigen (Königsberger tut das sehr gut), dass für alle komplexen Folgen \(w_n\) mit Grenzwert \(w\) gilt: \(\lim\limits_{n \to \infty} \Bigl(1 + \frac{w_n}{n}\Bigr)^n = \sum\limits_{k=0}\limits^\infty \frac{w^k}{k!}.\). Diese Reihe kann man dann mit der üblichen Magie in \(\sin\) und \(\cos\) aufsplitten.

geantwortet 2 Wochen, 2 Tage her
wrglprmft
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.29K
 

@wrglprmft ich möchte es gerade ohne die Reihendarstellung von \(e^x\) beweisen wollen. Ich habe im ersten Schritt \(1=\sin^2(x)+\cos^2(x)\) eingesetzt und damit versucht weiter zu rechnen. Habe diesen Schritt aber extra weggelassen, damit ich nicht jemanden in eine gedankliche Schiene drücke. Sonst noch eine Idee außer die Reihendarstellung von \(e^x\)? Danke fürs mitdenken :) Guten Rutsch   ─   maqu 2 Wochen, 2 Tage her

Welche Definition von \(\sin\) und \(\cos\) soll denn verwendet werden? Die Eigenschaft \(1=\sin^2(x)+\cos^2(x)\) alleine kann nicht ausreichen. Wenn man die Reihendefintion nutzt, kommt für \(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\) fast automatisch die Reihendefinition von \(\exp(\varphi)\) heraus. Das würde man vermutlich nur durch künstliche Verschleierung vermeiden können.   ─   wrglprmft 2 Wochen, 2 Tage her

Wie gesagt ich möchte eigentlich nur für mich wissen ob es mit der Grenzwertdefinition möglich ist. Ich habe mir aus Spaß mein altes Analysis Skript vor ein paar Tagen nochmal durchgelesen. Bevor der Prof damals Reihen begonnen hat, hat er komplexe Zahlen behandelt und diese Identität über einen anderen Weg gezeigt. Ich hatte mir nur überlegt, da ich eigentlich zu dem Zeitpunkt noch nichts über Reihen wissen konnte, ob ich es mit Hilfe des bis dahin behandelten Grenzwert lösen kann oder ob mir dazu noch die nötigen Werkzeuge fehlen. Also streng genommen keine Reihendarstellung. :D   ─   maqu 2 Wochen, 2 Tage her

Man kann nichts über \(\sin\) und \(\cos\) beweisen, wenn man keine Definition dieser Funktionen hat Manchmal "zeigt" man die Identität einfach in der Gaußschen Zahlenebene mit Trigonometrie, indem man die Polardarstellung in kartesischen Koordinaten ausdrückt.   ─   wrglprmft 2 Wochen, 2 Tage her
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Hast du schonmal versucht, mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes den Term in eine Summe umzuschreiben? Die sollte man dann geschickt so umbasteln können, dass man beim Grenzübergang die Reihen für \(\cos\) und \(\sin\) erhält. Das wäre jetzt mein Ansatz gewesen. 

geantwortet 2 Wochen, 2 Tage her
cauchy
Selbstständig, Punkte: 3.4K
 

Schon wieder ein Downvote ohne ersichtlichen Grund? Das macht so echt keinen Spaß mehr... Wenn an der Antwort irgendetwas auszusetzen ist, erwarte ich zumindest einen Kommentar, warum...   ─   cauchy 2 Wochen, 2 Tage her

Also du meinst die 1 nicht durch den trigonometrischen Pythagoras ersetzen, sondern an der Stelle oben binomischem Leersatz anwenden? Tatsächlich habe ich das noch nicht versucht :D ... wenn ich nachher mal Zeit hab schreib ich das mal auf und rechne es durch ... P.S. Da hat wohl wirklich einer was gegen dich, schon wieder ein Downvote :D hab’s mal wieder entfernt ... aber danke für die Idee, das mein ich man steckt manchmal in seiner Beweisstrategie fest :D   ─   maqu 2 Wochen, 2 Tage her

Ja, durch den Lehrsatz kommst du ja auch an eine Summe, die du dann vermutlich genauso umbasteln kannst wie die Reihe der e-Funktion, nur verwendest du eben genau diese Reihe nicht.   ─   cauchy 2 Wochen, 2 Tage her

Ich glaube das \(\dfrac{1}{n}\) spuckt mir in die Suppe, denn wie bekomme ich das \(n^k\) im Nenner weg? Also
\(\left(1+\dfrac{i\varphi}{n}\right)^n =\displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \dfrac{(i\varphi)^k}{n^k}}\)
Selbst wenn ich den Binomialkoeffizienten umschreibe bringt mir das nichts. Außerdem versuche ich auch Reihen zu umgehen, siehe die Begründung oben im Kommentar bei der Antwort von wrglprmft
  ─   maqu 2 Wochen, 2 Tage her

Die Summe beginnt bei \(k=0\). Was ist denn, wenn du die Reihendarstellung von cos und sin bereits benutzt und dann zeigst, dass der Betrag der Differenz gegen 0 geht? Ich denke, dann kann man das \(n^k\) geeignet abschätzen. Allerdings könnte man dann auch direkt mit der Reihendarstellung für die e-Funktion arbeiten. Mh...   ─   cauchy 2 Wochen, 2 Tage her

@cauchy oh ja danke hab’s korrigiert .... ja je mehr ich mich damit befasse denke ich es haben in dem Punkt im Skript meines Profs einfach noch die nötigen Werkzeuge gefehlt (Reihendarstellungen), um dies damit beweisen zu können   ─   maqu 2 Wochen, 2 Tage her
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