Hallo alle zusammen,

ich dachte mir, warum nicht auch mal ein Frage stellen^^. 

Ich ärgere mich seit einigen Tagen mit einem (persönlichen) Problem herum und komme nicht ans Ziel. Ich dachte mir, wer hier am Silvesterabend zum Corona-Lockdown nichts besseres zu tun hat als Mathe zu machen bei dem bin ich genau richtig :D.

Mein Problem: Ich möchte die Eulersche Identität \(e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\) zeigen, indem ich die Grenzwertdarstellung für die Exponentialfunktion benutze \(\exp(x)=\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n\). Diese sollte auch für die komplexe Exponentialfunktion \(\exp: \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}\) anwendbar sein.

Ich möchte also zeigen:

\(e^{i\varphi} =\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \left(1+\dfrac{i\varphi}{n}\right)^n =\ldots =\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\)

Ich habe den trigonometrische Pythagoras für die \(1\) eingesetzt um \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) erst einmal in die Gleichung zu bekommen. Dann habe ich viel herumgespielt, bin aber immer nur auf immer komplizierter werdende Terme gekommen, welche irgendwie nicht dahin führen wo ich hin will.

Ich glaube ich bin so in meinem Denken festgebissen, dass ich keinen neuen Gedanken finden kann und keine neue Idee habe um dort weiter zu kommen. Deswegen frage ich euch liebe Community, ob ihr mir einen Input geben könnt, wo ich vllt garnicht dran denke.

Und bitte nicht solche anworten wie ih mit etwas anderem die Identitä besser beweisen. Ich möchte schauen, ob ich es mit der Grenzwertdarstellung der \(e\)-Funktion beweisen kann.

Danke euch fürs mitüberlegen und wünsche einen guten Rutsch ;)