Aussage beweisen

Aufrufe: 490     Aktiv: 24.01.2021 um 20:35

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i=N->Z sei die kanonische Inklusion und f:N->G sei eine Abbilung in eine Gruppe G mit Eigenschaft, dass f(m+n)=f(m)*f(n) für alle m,n Element N.

 

Jetzt muss ich zeigen, dass x*y=y*x für alle x,y Element f(N).

x*y=y*x zeigt ja die Kommutativität der Mulitplikation, oder?

Bis jetzt habe ich geschrieben:

1. f(x+y)=f(x)*f(y)

2. f(y+x)=f(y)*f(x)

Ich kann dann doch wegen der Kommutativität sagen, dass 1 und 2 das gleiche ist also f(x+y)=f(x)*f(y)=f(y)*f(x)=f(y+x)

Ist mein Anfang richtig? Wie muss ich weitermachen?

 

 

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Ich würde es so aufschreiben:

Seien \(x,y \in f(\mathbb N)\), d.h. es gibt ein \(n \in \mathbb N\) mit \(f(n) = x\) und es gibt ein \(m \in \mathbb N\) mit \(f(m) = y\).

Nun gilt einerseits: \( f(n+m) = f(n) \cdot f(m) = x \cdot y \)

Und anderseits (da die Addition kommutativ in \(\mathbb N\) ist): \(f(n+m) = f(m+n) = f(m) \cdot f(n) = y \cdot x\)

Also haben wir \(x \cdot y = y \cdot x\).

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Danke, ich habe es jetzt verstanden !!!!   ─   anonym390d4 24.01.2021 um 20:35

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