Mehrfachsummen vereinfachen oder Formel herleiten?

Aufrufe: 126     Aktiv: 01.11.2022 um 02:25

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Hallo,
ich habe bei einem Lottorproblem damit zu tun, Mehrfachsummen wie Diese hier zu lösen:
\( \sum_{i5=1}^{a} \sum_{i4=i5+1}^{46} \sum_{i3=i4+1}^{47} \sum_{i2=i3+1}^{48} \sum_{i1=i2+1}^{49} 1 \)

a ist hier eine vorgegebene Konstante.

Die äusserste Klammer hat a als Obergrenze, die inneren Summen haben als Obergrenze der Reihe nache die aufsteigenden Zahlen, sodass 49 in der innersten Summe steht (bei 4 Summen eben 46,47,48,49).
Äusserste Summe hat immer unten =1 stehen, die inneren SUmmen haben als untergrenze immer gleich nächstäussere summenvariable+1.

Halt das oiffensichtliche Muster, wie man es hier sieht.

 

Klar kann ich das in sehr viel Kleinarbeit von innen nahc aussen auflösen, wobei es irgendwann unmöglich wird bspw. eine Formel für die SUmme der ersten n Kubik, Quadrupel und Quintupelzahlen zu finden :-(

Ich habe so das Gefühl da müsste es eine Formel geben.
Weil wenn ich mir bspw. mal die 2 innersten Summen vorstelle, dann kann ich mir das bildlich so vorstellen als eine Art Dreieck aus Blöcken.

Im Prinzip so ähnlich wie bei einer oberen Diagonalmatrix deren Einträge oberhalb der Hauptdiagonalen 1 sind. oder so.

Und selbst bei der Dreifachsumme kann ich mir  so räumlich als eine Art Pyramide vorstellen, deren 3 mit der spitze verbundenen Seiten alle Längen gemäß der der maximalen Intervallgrenzen haben. Oder so.


Haben einfach so das Gefühl., da mpssten man mit etwas Vorstellungskram das "Gebilde" nehmen können, bildlich verdoppeln und zu einem Quader zusammenfügen sodass man irgendwie am Ende die Dreifachsumme einfahc als Hälfte des entstehenden Quaders berechnen kann. Wobei jede Setie von den Grenzen eienr der 3 Summen abhängt.

Keine AHnung, so ie Vorstellung schwirrt mir so wage schon den ganzen Tag im Kopf rum, dass es da einfach eine "graphische/geometrische" Lösung dafür geben müsste.

Hat Jemand einen guten Plan wie man diese Art von Mehrfahcsumme (oben mit 5 Summen ist ein Beispiel) lösen kann wenn es die genannten speziellen Eigenshcaften für die Grenzen erfüllt (also äusserste grenze von 1 bis gegebene konstante, innere summen untergrenze immer nächstäussere variable+1, obergrenzen von aussen nach innen aufsteigend bis 49).

 

Hat jemand einen guten Plan?

Oder gibt es eine gute Art un Weise wie man das Ganze vereinfachen könnte?
Weil ich will im Rahmen eines Java Programms/Methode das berechnen lassen und die gegebenen Parameter sind dann einfach die Kosntante a und die Anzahl an Summen (oben 5).

EDIT vom 31.10.2022 um 21:23:


\( \sum_{i_5=1}^{a} \sum_{i_4=i_5+1}^{46} \sum_{i_3=i_4+1}^{47} \sum_{i_2=i_3+1}^{48} \sum_{i_1=i_2+1}^{49} 1 \)
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Wie schreibt man hier nochmal Latex?
Die Variante mit dem /( die in der Anleitung stand, sit es wohl shcon mal nicht :-(
  ─   densch 31.10.2022 um 20:56

Die Variante funktioniert prima, es liegt irgendwie an Deiner Kodierung. Wenn man Deinen Text einfach abschreibt, sieht alles prima aus.
  ─   mikn 31.10.2022 um 21:13

Codierung, was meisnt du damit?

In der Anleitung stand \( Code \)
und so sollte ich es eigentlich auch haben :-)

Edit:
Wow, im Kommentar funktioniert es idiotischerweise -.-
  ─   densch 31.10.2022 um 21:21

Wenn ich das richtig sehe, summierst du doch nur über 1? Das lässt sich doch sehr leicht berechnen.

Und keine Ahnung, wie du bei deinem Lottoproblem immer auf derart (auf dem ersten Blick) fragwürdige Ansätze kommst.
  ─   cauchy 31.10.2022 um 22:05

Aber wie berechnet man das?

Naja, das ist die ANzahl an 5stelligen (aufsteigend sortierten) Zahlen (aus 1-49)der Länge 5, deren erste "Ziffer"
Also für a=5 Alles von
(1,2,3,4,5) bis (a-1,46,47,48,49).

Brauche ich um mir am Ende eine Formel für die Anzahl der Zahlen kleiner (a,b,c,d,e) zu bauen.
Weil ich da dann 5 solche Mehrfachsummen ebrehcne und zusammenzähle.
(einmal alles mit erste ziifer 1 bis a-1,
dann ziffer1=a und zweite ziffer a+1 bis b-1,
usw.)

Für alle möglichen 3stelligen zahlen <(a,b,c) konnte ich mir, in sehr mühsamer kleinarbeit, noch eine formel von hand ausrechnen.
Und da brauchte ich shcon die formeln für die summe der ersten n zahlen sowie ersten n quadratzahlen.

Nur, für nun 4fach und 5fach summe, müsste ich nun shcon quadrupelzahlen addieren und so.
Und da gibt es womöglich nicht mal eine easy formel :-(

Insofern hatte ich gehofft, vielleicht über einen geometrischen weg oder Ähnliches vielleicht auf was zu kommen.
  ─   densch 31.10.2022 um 22:51

$\sum_{i=a}^b 1=b-a+1$, $\sum_{j=c}^d\sum_{i=a}^{b}1=\sum_{j=c}^d (b-a+1)=(d-c+1)(b-a+1)$ usw. Wieso machst du es wieder so kompliziert?   ─   cauchy 31.10.2022 um 23:51

Hm, das sind dann aber ja alle Zahlen untendrunter, oder?
Und nicht nur die aufsteigend sortierten?
  ─   densch 01.11.2022 um 00:58

Wie hast du eigentlich diese Latexformel geschriben, also was durm herum?
Mein Ausdruck

\( \sum_{i5=1}^{a} \sum_{i4=i5+1}^{46} \sum_{i3=i4+1}^{47} \sum_{i2=i3+1}^{48} \sum_{i1=i2+1}^{49} 1 \)
wird nur hier in den Kommentaren richtig angezeigt, aber in der Aufgabe oben nicht :-/
  ─   densch 01.11.2022 um 00:59

Was mir mal gerade so locker auffällt bei meiner Aufgabe:
Durch passende indexverschiebungen müsste der Ausdruck \( \sum_{i5=1}^{a} \sum_{i4=i5+1}^{46} \sum_{i3=i4+1}^{47} \sum_{i2=i3+1}^{48} \sum_{i1=i2+1}^{49} 1 \) doch Dasselbe sein wie \( \sum_{i5=5}^{a+4} \sum_{i4=i5}^{49} \sum_{i3=i4}^{49} \sum_{i2=i3}^{49} \sum_{i1=i2}^{49} 1 \) oder?

Lässt sich das irgendwie direkt berechnen mit einem Trick oder so?
  ─   densch 01.11.2022 um 01:06

Ich habs dir doch oben hingeschrieben. Rechne es doch einfach aus. Wenn du nur über 1 summierst, ist das doch nicht schwierig.

LaTeX-Formeln geben ich immer zwischen $ Zeichen ein. Funktioniert problemlos.
  ─   cauchy 01.11.2022 um 02:25
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