Beweis Eigenwerte

Aufrufe: 29     Aktiv: 08.02.2021 um 22:33

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Sei A eine n × n Matrix uber ein Körper K. Beweisen Sie, dass wenn λ not= 0 ein Eigenwert von Matrix A ist, dann ist λ^{−1} ein Eigenwert von Matrix A ^{−1}
Ich verstehen nich so ganz wie ich das beweisen soll. 
Gehen wir davon aus das (a-t)*v=0 und wenn man das nach a^-1 und t^1 umstellt ergeibt sich ja (a^{-1}-t^{-})*v=0. Man sieht das ja auch bei der Determinaten von A und A^{-1} das A=det und A^{-1}=1/det bzw det^{-1}ist. Aber wie man das so richtig beweis fällt mir nicht so wirklich ein.
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Wenn \( \lambda \neq 0 \) ein Eigenwert von \( A \) ist, dann gibt es einen Vektor \( v \), sodass \( Av = \lambda v \) ist.
Hieraus folgt nun
\( A^{-1}v = \lambda^{-1} A^{-1} \lambda v = \lambda^{-1} A^{-1}Av = \lambda^{-1} v \)
Also ist \( \lambda^{-1} \) ein Eigenwert von \( A^{-1} \).
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