Für das ganz außen festgehaltene \(x_3\) ist der zweidimensionale Integrationsbereich bzgl. \(x_1,x_2\) der Viertelkreis mit Radius \(\sqrt{x_3}\) im ersten Quadranten.  Mach Dir eine Skizze! In der Lösung wird dann entlang der waagerechten Schnitte integriert, das heißt, man hält immer \(x_2\) fest und integriert \(x_1\) über die waagerechte Strecke auf der Höhe von \(x_2\), die in dem Viertelkreis liegt. Die zulässigen Werte für \(x_2\) sind dann \([0,\sqrt{x_3}]\). Das erklärt die Intervallgrenzen für das mittlere Integral.

Deine Erklärung, dass das innere integral nicht von \(x_1\) abhängt, weil darüber ja schon integriert wurde, ist auch richtig.