Hallo!

Hier wendet man die sogenannte Partialbruchzerlegung an, nämlich:

\(\displaystyle  \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k}+\frac{-1}{k+1}\). Dies setzt man ein:

\(\displaystyle  \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}\).

Entweder man schreibt die Summen aus und erkennt, dass es sich hierbei um eine Teleskopsumme handelt, oder man wendet hier die Indexverschiebung an:

\(\displaystyle  \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k} = 1-\frac{1}{n+1}\).

Gruß.