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Man kann sich überlegen, dass gilt
\( \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n+1}{2n+1} \cdot \left( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \right)^2 \to \frac{e^2}{4} > 1 \)
Somit gilt ab einem bestimmten Index \( \frac{a_n}{a_{n+1}} > 1 \) bzw. \( a_n > a_{n+1} \). Die Folge ist also ab einem bestimmten Index monoton fallend und offensichtlich auch durch \( 0 \) nach unten beschränkt, also konvergent.
\( \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n+1}{2n+1} \cdot \left( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \right)^2 \to \frac{e^2}{4} > 1 \)
Somit gilt ab einem bestimmten Index \( \frac{a_n}{a_{n+1}} > 1 \) bzw. \( a_n > a_{n+1} \). Die Folge ist also ab einem bestimmten Index monoton fallend und offensichtlich auch durch \( 0 \) nach unten beschränkt, also konvergent.
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