Monotonieverhalten

Aufrufe: 761     Aktiv: 09.12.2020 um 17:08
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Hallo bräuchte eine Bestätigung zur Monotonie:

Eine Funktion wie z.B x^3 hat einen Sattelpunkt bei (0/0) . Da dieser ja nur einmal vorkommt, ist ja Gf in ganz R streng monoton steigend. Wenn man aber ne Funktion mit zwei Sattelpunkten hat, dann ist Gf in ganz R aber nur monoton steigend oder?

Danke für die Antwort.

 

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Die strenge Monotonie (wie auch die Monotonie) ist eine LOKALE Eigenschaft, die in jedem Punkt nachgewiesen werden muß.
Wenn eine Funktion in jedem ihrer Punkte streng monoton ist, dann nennt man sie streng monoton.
Beliebig viele Sattelpunkte stören die strenge Monotonie nicht!

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Streng monoton steigend bedeutet, dass f(x+n) > f(x) sein muss beziehungsweise dass die erste Ableitung der Funktion f(x) (in dem gegebenen Bereich) >0 sein muss. Bei einem Sattelpunkt ist f'(x) jedoch =0,, die Funktion verläuft an diesem Punkt waagerecht, deshalb ist sie nur monoton steigend, ganz egal wieviele Sattelpunkte vorkommen.
Bildlich erklärt: eine Rampe ist sterng monoton steigend, eine Treppe nur monoton steigend

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Allerdings steht in meinem Mathebuch, dass ein isolierter Dattelpunkt die strenge Monotonie nicht stört   ─   [email protected] 09.12.2020 um 15:44
tut mir leid, das war ein Denkfehler, ja es stimmt, dass sie streng monoton steigend ist, denn für strenge Monotonie gilt, dass für alle a,b ∈ Gf gilt: für aund das ist auch bei einem Sattelpunkt gegeben. Somit müsste es aber auch bei 2 Sattelpunkten streng monoton steigend sein   ─   caro8998 09.12.2020 um 16:10
Aber dass er der Graph in ganz R bei zwei Sattelpunkten streng monoton steigt gilt dann nicht mehr oder?   ─   [email protected] 09.12.2020 um 16:15
Meinst du mit R den Definitionsraum?
Es müsste trotzdem streng monoton steigend sein, wichtig ist, dass für aalso dass mit jedem "größeren Wert auf der x-Achse, auch der Funktionswert größer wird" und das ist beim Sattelpunkt gegeben. Im Gegensatz zu Funktionen, bei der ein längerer Abschnitt der Funktion horizontal verläuft   ─   caro8998 09.12.2020 um 16:25
Ja R ist der Definitionsraum, das heißt, es muss praktisch nach Sattelpunkt 1 sofort Sattelpunkt 2 kommen, sodass der Graph nur monoton steigt oder?   ─   [email protected] 09.12.2020 um 16:59
Das wäre salopp formuliert ... unter diesem Link sind einige Graphen die es verdeutlichen
https://de.serlo.org/mathe/funktionen/kurvendiskussion/monotonie-extrema/monotonie-1911   ─   caro8998 09.12.2020 um 17:08

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