Aufgabe 1: Also ein Passwort hat \(n\) Buchstaben. Die Chance, den ersten Buchstaben richtig zu erraten, ist \(\frac{1}{3}\), da es ja entweder A,B oder C sein muss. Um das ganze Passwort zu erraten, muss man \(n\) mal richtig raten. 

Sei also \(X\) die Anzahl der richtig geratenen Buchstaben.

\(P(X=n)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot\ldots \cdot\frac{1}{3}}_{n-mal}=\left(\frac{1}{3}\right)^n\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass das komplette Passwort richtig geraten wird. Diese soll nun kleiner als 0.001 sein, d.h.

\(P(X=n) = \left(\frac{1}{3}\right)^n<0.001\)

Jetzt noch das \(n\) berechnen, und die Aufgabe ist gelöst.

Aufgabe 2: Stichwort Kardinalität von Mengen. Ihr habt bestimmt vier Formeln für Ziehen mit/ohne Zurücklegen mit/ohne Beachtung der Reihenfolge gemacht. Du musst nur die richtige Formel finden und dann einsetzen.

Versuchen wir, die Aufgaben verständlicher zu formulieren.

Aufgabe 1: Ein Passwort besteht aus \(n\) Buchstaben. Die Buchstaben A,B und C dürfen mehrmals verwendet. Bei Passwörtern ist die Reihenfolge wichtig (ABC ist ein anderes Passwort wie CBA). Also ist das Modell Ziehen mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge. Die Frage ist nun, aus wie vielen Buchstaben müssen die Passwörter mindestens bestehen, wobei jeder Buchstabe die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, damit die Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Passwort zu erraten, kleiner als 0.001 ist. 

Aufgabe 2: Töne dürfen nicht wiederholt werden, also Ziehen ohne Zurücklegen. Man soll ja die Anzahl der Anordnungen zählen, also ist die Reihenfolge natürlich interessant. Damit Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge. Die Frage ist also, wie viele Möglichkeiten es gibt, 12 unterschiedliche Töne anzuordnen, ohne das ein Ton wiederholt wird.