Deine Rechnung ist fast richtig, aber beim Kehrwerte-bilden dreht sich das $\le$-Zeichen um, und dann kommt ja ne wahre Aussage raus (siehe den hilfreichen Kommentar von cauchy).
Die zweite Ungleichung rechnet sich auch leicht nach. Oder man sieht sofort, dass, wenn man von 1 was positives subtrahiert, natürlich weniger als 1 rauskommt ("abschätzen", siehe die andere Antwort).

Versuche das ganze einfach mal ohne Äquivalenzumformungen und nutze nur Abschätzungen, für die obere Schranke beispielsweise so (ich hoffe das ist die richtige Folge):$$\frac {n^2-1}{n^2 + 1}\leq \frac {n ^2}{n^2 +1} \leq  \frac {n ^2}{n^2} = \dots$$Generell braucht man wenn es nur um die Angabe einer Schranke geht keine Vermutung, sondern es reicht aus, solange abzuschätzen, bis man eine Konstante hat. Eine Vermutung brauchst du erst, wenn du die kleinste/größte obere/untere Schranke bestimmen musst.