Folge beschränkt obere - & untere Schranke

Aufrufe: 57     Aktiv: 09.10.2021 um 21:51

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Guten Abend,

Die Aufgabenstellung lautet:
Zeigen Sie, dass die Folge beschränkt ist und geben Sie jeweils eine obere und untere Schranke an(n ist Element der natürlichen Zahlen).

Die Vermutung habe ich noch problemlos hinbekommen, aber am Beweis verzweifle ich, da komme ich auf keinen grünen Ast.
Jeder Hinweis ist herzlich willkommen:).

Vielen Dank und schönen Abend noch,
Andi
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Schüler, Punkte: 16

 

Deine Umformungen stimmen auch gar nicht. Wenn der Bruch kleiner ist als 1, folgt daraus $n^2+1\geq 2$. Das ist aber trivial...   ─   cauchy 09.10.2021 um 19:45

Stimmt, hätt ich drehen müssen.

Wirklich hilfreich war das aber nicht.
  ─   andreas fischer 09.10.2021 um 19:57

Warum war das nicht hilfreich? Dass $n^2+1\geq 2$ gilt, folgt doch direkt aus der Tatsache, dass $n\in \mathbb{N}$ ist, denn für das kleinste $n=1$ ist die Gleichheit erfüllt und $n^2$ ist monoton wachsend, also ist der Ausdruck für alle anderen $n$ größer.   ─   cauchy 09.10.2021 um 20:27
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Deine Rechnung ist fast richtig, aber beim Kehrwerte-bilden dreht sich das $\le$-Zeichen um, und dann kommt ja ne wahre Aussage raus (siehe den hilfreichen Kommentar von cauchy).
Die zweite Ungleichung rechnet sich auch leicht nach. Oder man sieht sofort, dass, wenn man von 1 was positives subtrahiert, natürlich weniger als 1 rauskommt ("abschätzen", siehe die andere Antwort).
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Versuche das ganze einfach mal ohne Äquivalenzumformungen und nutze nur Abschätzungen, für die obere Schranke beispielsweise so (ich hoffe das ist die richtige Folge):$$\frac {n^2-1}{n^2 + 1}\leq \frac {n ^2}{n^2 +1} \leq  \frac {n ^2}{n^2} = \dots$$Generell braucht man wenn es nur um die Angabe einer Schranke geht keine Vermutung, sondern es reicht aus, solange abzuschätzen, bis man eine Konstante hat. Eine Vermutung brauchst du erst, wenn du die kleinste/größte obere/untere Schranke bestimmen musst.
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