Ist diese Formel allgemeingültig?

Erste Frage Aufrufe: 41     Aktiv: 04.11.2021 um 19:00

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Nein,

$$(x\iff y)\iff(x\implies y \land y\implies x)$$

Die Implikation $y\implies x$ ist jedoch nicht äquivalent zu $\neg y\implies \neg x$, sondern zu $\neg x\implies \neg y$

Dass das so ist, kannst du dir mit folgendem Beispiel veranschaulichen:

Wenn es regnet, ist der Boden nass. Das bedeutet allerdings nicht, dass der Boden nicht nass sein kann, wenn es nicht regnet. Falls der Boden nicht nass ist, kannst du aber sagen, dass es nicht geregnet haben kann.

Alternativ kannst du mithilfe eines Vergleichs der Wahrheitstabellen feststellen, dass die beiden Aussagen nicht äquivalent sind.
Sei $x$ falsch und $y$ wahr, dann ist $x\implies y$ wahr, $\neg y\implies \neg x$ wahr und $(x\implies y) \land (\neg y\implies \neg x)$ wahr. Für die andere Seite bekommen wir $(x\implies y)$ wahr und $(y\implies x)$ falsch, somit ist $(x\implies y)\land(y\implies x)$ falsch und damit auch $(x\iff y)$
Da beide Seiten unterschiedliche Wahrheitswerte haben, ist die Aussage nicht allgemeingültig.

 

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