Logarithmus-Kettenbruch zurück in basis wandeln.

Aufrufe: 177     Aktiv: 21.10.2023 um 00:07

1
Hey, 

Ich habe vor kurzem so eine Methode gefunden wie man den Logarithmus zu jeder basis (zumindest Ganzzahlen) von jeder ganzen Zahl annähern kann mit diesen berühmten unendlichen Kettenbrüchen (manchmal auch endlich). 

Zuerst ein Beispiel für das was ich meine: 

Der Wert von Log2(5) ist ungefähr 2+1/(3+1/(9+1/(2+1/2))) 

oder 

Wert von Log3(22) ist ungefähr 2+1/(1+1/(4+1/(2+1/(1+1/(2)))))

Das Prinzip, welches tatsächlich ziehmlich simpel und logisch ist: 

Beispiel:

Log2(5) ist ja 2^x = 5.

Der Ganzzahlige anteil wäre 2, weil 2^2 = 4. 
Und übrig bleibt 2^(2+x) = 5. 
Also 2^x = 5/4 

Wir wissen, dass aber eigentlich x zwischen 2 und 3 liegen muss, ohne 3 selbst zu sein weil 2^3 ja 8 ist. 

Um jetzt den restlichen anteil (2^x = 5/4, weil)  weiter rauszuziehen, können wir statt 2^x = 5/4 (weil da ja der Ganze anteil = 0 ist), um ein bessere iddee zu bekommen zuerst (5/4)^x = 2 ausrechnen (was den ganzzahligen anteil 3 hat) und den Kehrwert bilden. 

Also wäre dann ja Log2(5) = 2 + 1/log5/4(2) 

Also ist dann 2 + 1/3 schonmal eine bessere Annäherung für log2(5).

Wir wollen ja die 2 erreichen, aber (5/4) ³ ist ja nur 125/64 . und was wir jetzt wiederrum benötigen ist 2/(125/64) was 128/125 sind. 

Also (5/4)^(3+x) = 128/125 

und hier wiederrum weil wir schon den ganzzahligen anteil rausgenommen haben (nämlich 3) wissen wir tun wir wieder umdrehen schauen ja wie oft passt stattdessen 128/125 in 5/4 um ein besseres gefühl zu bekommen. was ganzzahlig 9 sind. 

Also haben wir jetzt insgesamt  

2+1/(3+1/9) 

Und es geht einfach so weiter. 


Meine Frage nun wie kann ich den Kettenbruch so manipulieren, sodass ich die Basis annähere (also Zurück gehen kann) ?





Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 15

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Will man die Basis annähern, so entspricht das dem Wurzelziehen. Leider kann man nur Quadratwurzeln durch Kettenbrüche darstellen, bei "höheren" Wurzeln scheint es keinen eleganten Weg zu geben.

Jedenfalls hast Du da eine sehr interesante Beobachtung gemacht.
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 2.25K

 

Good Game, und Danke!   ─   userfd12dd 21.10.2023 um 00:07

Kommentar schreiben