Rechtsseitige Stetigkeit: Seien \(x\in(a,b)\) und \((x_n)\subseteq[x,b)\) mit \(x_n\to x\).  Wähle \(c,d\in(a,b)\), so dass für alle \(n\) gilt: \(c<x\le x_n<d\).  Setze \[s_n:=\frac{x-c}{x_n-c}\qquad\text{und}\qquad t_n:=\frac{x_n-x}{d-x}.\] Dann gelten \(x=(1-s_n)c+s_nx_n\) und \(x_n=(1-t_n)x+t_nd\). Zeige jetzt mit der Konvexität von \(f\):\[\liminf_{n\to\infty}f(x_n)\ge f(x)\qquad\text{und}\qquad\limsup_{n\to\infty}f(x_n)\le f(x).\]

Linksseitige Stetigkeit geht analog.

Hilft das?