Für welche quadratischen Matrizen ist die Matrizenmultiplikation kommutativ?

Aufrufe: 1497     Aktiv: 19.04.2021 um 21:59
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Sei GL2(IR)= { ( a b
                          c d) : a, b, c, d aus IR mit ad-bc =/= 0}
Bestimmen Sie nachvollziehbar alle Matrizen
A = (a b
       c  d) aus GL2(IR),
die die Eigenschaft haben, dass A · B = B · A gilt, für alle B ∈ GL2(IR).
(Hinweis: Wählen Sie für B zuerst Matrizen, die nur Einsen und Nullen haben, um die Möglichkeiten für A einzuschränken.) 

Also ich bin zu dem Schluss gekommen, dass A eine Diagonalmatrix sein muss und die Einträge der Diagonalen gleich sein müssen. Stimmt das? Und wenn ja, wie kann ich das "nachvollziehbar" erklären? Ich habe erstmal alle Kombinationen von 1 und 0 versucht (wie im Hinweis angemerkt) und habe festgestellt, dass die Kommutativität nur für die Einheitsmatrix gilt. Dann habe ich die Einsen in der Diagonale durch ein allgemeines a ersetzt und das war auch noch kommutativ. 
Aber zumindest für mich gilt mehr oder minder wahlloses Ausprobieren nicht als nachvollziehbare Lösung.
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Student, Punkte: 27

 
Sagen dir Eigenvektoren etwas?   ─   mathejean 19.04.2021 um 11:10
ja, ich weiß was Eigenvektoren sind, aber die hatten wir in der Vorlesung noch nicht. Ich weiß das nur, weil ich schon einen anderen Kurs gemacht habe. Die Mehrheit der Kursteilnehmer wird es nicht wissen, also muss es auch ohne das Wissen lösbar sein.
   ─   kah.soph 19.04.2021 um 12:00
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1 Antwort
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Du sollst ja auch nur Ausprobieren, um eine Vorstellung davon zu bekommen, wann die Matrixmultiplikation kommutativ ist. Es geht also Richtung Diagonalmatrizen. Du könntest also beweisen, dass \(A\) und \(B\) Diagonalmatrizen sein müssen, damit die Multiplikation kommutativ ist. Außerdem gibt es noch einen Spezialfall.
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 
also ich habe jetzt folgendes überlegt: eine Fallunterscheidung: 1.Fall B ist eine Diagonalmatrix, dann muss A auch eine Diagonalmatrix sein, aber die Einträge sind egal.
2. Fall B ist keine Diagonalmatrix, dann muss A eine Diagonalmatrix sein, bei der die Einträge in der Diagonalen gleich sein müssen. Stimmt das so?
   ─   kah.soph 19.04.2021 um 11:07

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.