Vollständige Induktion n^3 - n stets durch 3 teilbar.

Aufrufe: 936     Aktiv: 13.04.2021 um 23:32
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Wie beweise ich dass n^3 - n für alle n element der natürliche Zahlen stets durch 3 teilbar ist. Ich habe das Video von Daniel Jung dazu gesehen jedoch verstehe ich nicht ganz wo da der Beweis liegt bzw. der Induktionsschritt.. Kann mir jemadn weiterhelfen?
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3 Antworten
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Das geht auch einfach ohne Induktion. Faktorisiere den Ausdruck komplett in Linearfaktoren, es gibt drei, und betrachte die drei Faktoren. Was fällt auf?
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Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Induktionsanfang: n = 1
1 - 1 = 0 Und 0 ist durch drei teilbar.
Induktionsvoraussetzung:
Angenommen die Aussage gilt für n, d.h. n3 - n ist eine durch 3 teilbare Zahl.
Induktionsschluss:
Zu zeigen ist das diese Behauptung auch für n + 1 gilt:
(n + 1)3 - (n + 1)
=
n3 + 3n2 + 3n + 1 - n - 1
 
=
n3 + 3n2 + 2n
 
=
n3 - n + 3n2 + 3n
 
=
(n3 - n) + 3(n2 + n)


nach IV ist (n3 - n) durch drei teilbar. Und 3(n2 + n) ist als ganzzahliges Vielfaches von 3 ebenfalls durch 3 teilbar, und damit ist auch die Summe durch 3 teilbar.
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Wie kommst du von n3 + 3n2 + 2n auf n3 - n + 3n2 + 3n?
   ─   user29aedf 13.04.2021 um 21:31

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Hi :) 

Wenn du \(n^3-n = n(n^2-1)= n(n+1)(n-1)\) schreibst, siehst du es bestimmt sofort. 

bei Fragen gerne melden 

viele Grüße 

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