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Meinst du \([0,1]\) oder \([-1,0]\) als Intervall?
Unabhängig davon, beachte, dass deine Funktion nicht stetig sein muss. Wenn dein Intervall \([0,1]\) ist, kannst du z.B. $$f:[0,1]\to[0,1]x\mapsto\begin{cases}x+\frac12,&x\in[0,\frac12],\\x-\frac12,&x\in]\frac12,1]\end{cases}$$ wählen. Du kannst dich davon überzeugen, dass diese Funktion bijektiv, aber nicht monoton ist.
Unabhängig davon, beachte, dass deine Funktion nicht stetig sein muss. Wenn dein Intervall \([0,1]\) ist, kannst du z.B. $$f:[0,1]\to[0,1]x\mapsto\begin{cases}x+\frac12,&x\in[0,\frac12],\\x-\frac12,&x\in]\frac12,1]\end{cases}$$ wählen. Du kannst dich davon überzeugen, dass diese Funktion bijektiv, aber nicht monoton ist.
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stal
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Danke für die schnelle Antwort. Bei mir scheitert es gerade daran, dass ich nicht verstehe, warum dein Beispiel nicht monoton ist, weil eigentlich steigen ja beide Geraden an. Also ist es doch immer noch monoton.
─
lifunk
06.05.2021 um 15:48
Auf den Teilintervallen, ja. Aber z.B. ist \(f(\frac14)>f(\frac34)\), also kann \(f\) nicht monoton steigen. Und wegen \(f(0)
─
stal
06.05.2021 um 15:52
Ah ok, wenn ich dann die gleichen Werte wie in deinem Beispiel verwende, aber die Abbildung nicht bijektiv sein soll und streng monoton, und durch f(0) und f(1) verlaufen soll, könnte ich zum Beispiel:
f: [ 0,1] -> [0,1] x->\begin{cases}2x,&x\in[0,\frac12[,\\2x-1,&x\in]\frac12,1]\end{cases}
machen? ─ lifunk 06.05.2021 um 16:00
f: [ 0,1] -> [0,1] x->\begin{cases}2x,&x\in[0,\frac12[,\\2x-1,&x\in]\frac12,1]\end{cases}
machen? ─ lifunk 06.05.2021 um 16:00
Die Abbildung ist nicht streng monoton, denn \(f(\frac13)=\frac23>\frac13=f(\frac23)\). Überleg dir nochmal, wie der Graph von einer solchen Funktion aussehen muss.
─
stal
06.05.2021 um 17:00
Dann müsste also
f: [ 0,1] -> [0,1] x->
\begin{cases}\frac12x,&x\in[0,\frac12[,\\\frac12x+1,&x\in]\frac12,1]\end{cases}
funktionieren, aber ist es möglich, einfach die 1/2 als Wert für x auszuklammern? ─ lifunk 06.05.2021 um 17:52
f: [ 0,1] -> [0,1] x->
\begin{cases}\frac12x,&x\in[0,\frac12[,\\\frac12x+1,&x\in]\frac12,1]\end{cases}
funktionieren, aber ist es möglich, einfach die 1/2 als Wert für x auszuklammern? ─ lifunk 06.05.2021 um 17:52
Das ist die richtige Idee, ja. Allerdings gibt es zwei Probleme: \(f(\frac12)\) muss definiert sein. Du kannst einfach in einem der beiden Fälle \(\frac12\) mitdefinieren, also eine der beiden eckigen Klammern schließen. Außerdem ist dein Bild keine Teilmenge von \([0,1]\) mehr, denn z.B. \(f(1)=\frac32\). Ersetze deshalb das \(+1\) im zweiten Fall durch ein \(+\frac12\), dann klappts.
─
stal
06.05.2021 um 18:00