Beweis kommutative (abelsche) Gruppe

Erste Frage Aufrufe: 764     Aktiv: 23.01.2022 um 19:40

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Seien (G, ) und (G, # ) kommutative Gruppen. Zeigen Sie, dass dann auch (G × G, ) eine kommutative Gruppe ist, wobei (a, x) (b, y) = (a b, x # y).

Mir ist klar, dass ich die Gruppenaxiome beweisen muss. Aber was sind hier meine x,y und z?

Wäre der Ansatz zB für Assoziativität: Für alle x,y,z Element aus G
× G gilt:
(
a b) * [( x # y) * c] =  [(a b) * ( x # y)] * c.

gefragt

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Dann also so: (a ⊕ b) ◦ [( x # y) ◦ c] = [(a ⊕ b) ◦ ( x # y)] ◦ c ?   ─   wuschwusul 21.01.2022 um 12:28

Danke! Wieso ist es beim z.z. hinten \( (a_3, x_2) \) und nicht \( (a_3, x_3) \), auch bei den anderen Verknüpfungen unten? Brauche ich nicht drei unterschiedliche Elemente aus der Menge?   ─   wuschwusul 21.01.2022 um 19:01

Vielen Dank, ich konnte es nun lösen.   ─   wuschwusul 23.01.2022 um 14:13
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Es ist keine gute Idee, zu sagen, dass $x, y, z\in G\times G$ ist. Mache dir bitte unbedingt klar, wie ein Element in $G\times G$ aussieht. Das sind nämlich Tupel. Schreibe also besser: Es seien $(a,x), (b,y), (c, z)\in G\times G$. Dann wird auch schnell klar, was zu zeigen ist. Alternativ kannst du die Elemente auch durchnummerieren wie im Kommentar oben. Wichtig ist immer, dass man sich die genaue Struktur klar macht. Der Rest ist dann nur noch genaues Aufschreiben. Dabei sollte man auch auf alles genau achten.
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Danke, das hat geholfen.   ─   wuschwusul 23.01.2022 um 14:13

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