Epsilon - Delta Kriterium für 2^x

Aufrufe: 698     Aktiv: 08.06.2021 um 12:02

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Ich bin recht neu und schaffe den Beweis für die Stetigkeit von 2^x einfach nicht (mit dem Epsilon - Delta Kriterium) Kann mir hier jemand helfen?
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Es wäre hilfreich, wenn du deinen Ansatz mal zeigen würdest.   ─   sorcing 06.06.2021 um 01:14

hmm aus
$$ a < b \Rightarrow \log_n a < \log_n b $$
folgt nicht unbedingt
$$ | \log_2 f(x) - \log_2 f(x_0) | < \log_2 ( \varepsilon) $$
sondern eher
$$ \log_2|f(x) - f(x_0)| < \log_2 ( \varepsilon) $$
oder?

Es ist am einfachsten, wenn du zuerst zeigst, dass die Funktion in \( x_0 = 0 \) stetig ist. Versuch dich vielleicht erstmal daran. Danach kannst du dann mit \( y_n = x_n - x_0 \) mit \( x_n \underset{n \to \infty}{\to} 0 \) zeigen, dass sie in jedem Punkt \( x_0 \) stetig ist.

Grüße Christian
  ─   christian_strack 07.06.2021 um 16:59

Hmm ich würde sagen das Umgebungen erhalten bleiben ist eher eine Konsequenz der Stetigkeit oder ist in der Topologie ja gerade die Stetigkeit. Stetigkeit wird natürlich durch strenge Monotonie und Bijektivität impliziert, aber das wäre davon abhängig, ob der Fragesteller das bereits bewiesen hat.   ─   christian_strack 08.06.2021 um 09:59

Oh ja da hab ich was durcheinander gebracht.
Hmm aber wenn wir die Funktion \( g(x) = x-2 \) betrachten, dann ist diese bijektiv und streng monoton steigend. Sei nun \( \varepsilon = 1 \), dann ist
$$ x -1 < x < x+1 $$
aber es ist
$$ g(x) - g(1) = x-2 - (-1) = x -1 > x-2 = g(x) $$
Also folgt das nicht unbedingt, denn andereseits ist mit \( \varepsilon = 3 \)

$$ g(x) - g(3) = x-2 - (1) = x-3 < x-2 = g(x) $$

Es ist auf jeden Fall richtig, dass aus strenger Monotonie und Bijektivität die Stetigkeit folgt. Damit ist es auch richtig aus strenger Monotonie und Bijektivität zu folgern, dass wenn \( |x-x_0| < \delta\), dann ist \( |f(x) - f(x_0) | < \varepsilon \) ( denn das ist ja gerade die Stetigkeit), aber die Abschätzung von \( \delta \) durch den Funktionswert \( f^{-1}(\varepsilon) \) klappt so denke ich nicht.
  ─   christian_strack 08.06.2021 um 11:49
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