Wahrscheinlichkeitsrechnung (diskrete Zufallsvariablen)

Aufrufe: 123     Aktiv: 27.10.2022 um 23:45

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a) Muss dafür einfach $k=2$ eingesetzt werden?

b) Ich komme nicht klar damit, wie ich die Information über die gleiche Wahrscheinlichkeit von Mädchen und Knaben einbeziehen muss bzw. welche Formel ich dafür verwenden kann.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.
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Student, Punkte: 73

 
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1 Antwort
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"Wenn man weiß, dass..." ist eine Bedingung. Gesucht sind hier also entsprechend bedingte Wahrscheinlichkeiten. Dafür gibt es Formeln. Versuche erst einmal die vorkommenden Ereignisse zu erfassen und aufzuschreiben. Über die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten hast du ja Informationen. Zeige gerne deine Zwischenergebnisse.
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Selbstständig, Punkte: 26.62K

 

Vielen Dank für den Hinweis!

Für bedingte Wahrscheinlichkeiten haben wir die Formel $P(A,B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$, wobei $B$ das bereits eingetretene Ereignis ist.

Zudem wissen wir aus der Aufgabe, dass die Wahrscheinlichkeit für die Geschlechter gleich gross ist, also wir keine Gewichtung diesbezüglich berücksichtigen müssen.

Zu a):
Da wir wissen, dass die Familie zwei Knaben hat, konstituiert dies das bereits eingetretene Ereignis, also $B={Familie hat zwei Knaben}$. Die Frage ist, wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Familie nur zwei Kinder hat. Das würde ja heissen, dass die Familie die zwei Knaben hat und keine weiteren Kinder. Also $A={keine weiteren Kinder}$.

Somit ergibt sich: $P(A,B)=\frac{p_0 \cdot p_2}{p_2}$$=\frac{a \cdot (1-2a)2^{-1}}{(1-2a)2^{-1}}$$=a$. Stimmt das so?

Zu b):
Hier sind meine Überlegungen: Die Familie hat $k$ Kinder. Davon sind zwei Knaben. Nun ist gesucht, was die Wahrscheinlichkeit für zwei Mädchen aus insgesamt $k$ Kindern ist mit dem Wissen, dass es bereits zwei Knaben gibt. Läuft dies auf den Einbezug des Binomialkoeffizienten hinaus?
  ─   jonase.gluch 27.10.2022 um 19:22

a) passt, sehr gut. Für b) musst du die Aufgabe nochmal genau lesen. ;) Den BK brauchst du hier nicht.   ─   cauchy 27.10.2022 um 20:54

Ok, das Ereignis $B$ bleibt gleich, also $B={Familie hat zwei Knaben}$ mit $P(B)=p_2=(1-2a)2^{-1}$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Familie zwei Knaben aus $k$ Kindern hat ist also (mit $A=Familie hat k Kinder$) $P(A,B)=\frac{p_k \cdot p_2}{p_2}=\frac{(1-2a)2^{-(k-1)} \cdot (1-2a)2^{-1}}{(1-2a)2^{-1}} = (1-2a)2^{-(k-1)} =: P$.

Nun Somit ergibt sich ein neues Ereignis $B' = Familie hat k Kinder, wovon 2 Knaben sind$ und ein neues Ereignis $A'=Familie hat 2 Mädchen$. Daraus ergibt sich $P(A',B')=\frac{p_2 \cdot P}{P}=\frac{(1-2a)2^{-1} \cdot (1-2a)2^{-(k-1)}}{(1-2a)2^{-(k-1)}}=(1-2a)2^{-1}$. Stimmt das so?
  ─   jonase.gluch 27.10.2022 um 21:43

Du denkst zu kompliziert. Lies die Aufgabe richtig!

Mit fällt aber gerade auf, dass die Wahrscheinlichkeit für $B$ nicht passt, denn $p_2$ ist ja nur die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Familie 2 Kinder hat, egal welches Geschlecht. Die Wahrscheinlichkeit, dass es zwei Knaben sind, liegt bei 25 %. Warum? Damit passt a) dann auch nicht.
  ─   cauchy 27.10.2022 um 21:51

Man muss bei solchen Aufgaben sehr genau hingucken: Die Ereignisse "Die Familie hat zwei Knaben" und "Die Familie hat zwei Knaben unter ihren Kindern" sind unterschiedlich. Da muss ich jetzt tatsächlich selbst nochmal kurz drüber nachdenken.   ─   cauchy 27.10.2022 um 21:56

Zu a):
Achso, die Wahrscheinlichkeit für einen Knaben ist $p=0,5$ und somit dann für zwei Knaben $p=0,5^2=0,25$. Man könnte dies ja in einem Baumdiagramm darstellen, wobei der erste Ast die Anzahl Kinder ist mit $n=0,1,...,k$ und der zweite Ast, ob zwei Knaben oder zwei Mädchen, wobei für beide gilt $p=0,25$. Mit der Pfadregel folgt dann $P(B) = p_2\cdot 0,25= (1-2a)2^{-1} \cdot 0,25$. Ereignis A bleibt aber gleich und somit $P(A,B)=\frac{p_0 \cdot P(B)}{P(B)} = a$.


Zu b):
Ist es einfach zweimal die Wahrscheinlichkeit, dass die Familie bei $k$ Kindern zwei Knaben hat? Also $A = FamiliehatkKinder$ und $B=2Knabenoder2Mädchen$ ($P(B)$ von oben)? Ich sehe einfach nicht, warum man den Unterschied zwischen den Geschlechtern überhaupt macht, da die Wahrscheinlichkeit ja gleich gross ist für beide.
  ─   jonase.gluch 27.10.2022 um 22:13

a) Irgendwas kann da nicht stimmen. Wieso sollte die Wahrscheinlichkeit von einem beliebigen Faktor $a$ abhängen? Und über $a$ ist ja auch nichts bekannt soweit. Mh.

b) Du denkst hier immer noch falsch, weil du die Aufgabe nicht richtig gelesen hast. Wie viele Kinder hat denn die Familie?
  ─   cauchy 27.10.2022 um 22:28

b) Die Familie hat $k$ Kinder oder?   ─   jonase.gluch 27.10.2022 um 22:34

Können es dann nur zwei Mädchen sein, wenn $k=4$? In allen anderen Fälle wäre die Wahrscheinlichkeit dafür ja $0$, da die genau zwei Knaben ja Voraussetzung sind. Somit können es nur auch genau zwei Mädchen sein, wenn die Familie insgesamt vier Kinder hat, wovon zwei Knaben und zwei Mädchen sind. Bei mehr als vier Kindern gibt es auch mehr als zwei Mädchen, bei drei Kindern ein Mädchen.   ─   jonase.gluch 27.10.2022 um 22:37

Genau. Du musst hier also gar nicht mit $k$ rechnen, sondern du weißt schon, dass $k=4$ sein muss.   ─   cauchy 27.10.2022 um 23:45

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