Tatsächlich ist es nicht 0. Das ganze ist ja wie ein Optimierungsproblem (wenn dir das etwas sagt). Genaugenommen suchst du ja das Minimum von \(y(t)\). Jetzt hast du ja noch die Funktion \(y(x,t)\). Bei so einer Funktion ist das Minimum zu finden nicht ganz so einfach. Aber wir können unser \(y(x,t)\) ziemlich leicht zu einem \(y(t)\) umwandeln, denn wir kennen ja \(x\) in Abhängigkeit von \(t\), nämlich \(x=\frac{1}{3}t\). Diese Abhängigkeit können wir nun in \(y(x,t)\) einsetzten:

\(y(x,t) = 3x^2-2tx+4t^2-11t\)
\(y(\frac{1}{3}t, t) = 3\cdot(\frac{1}{3}t)^2 - 2t\frac{1}{3}t-4t^2-11t = \frac{1}{3}t^2-\frac{2}{3}t^2-4t-11t\)

\(=>y(t)= \frac{11}{3}t^2-11t\)

Das sind also die y-Werte aller Tiefpunkt in Abhängigkeit von \(t\).

Nun musst du nurnoch den Tiefpunkt von dieser Funktion bestimmen, die Rechnung überlasse ich mal dir, du hast ja bereits gezeigt, dass du das kannst. 
Falls du noch genauere Erläuterungen zu solchen Aufgaben möchtest, dann erkundige dich mal nach der Bestimmung von Ortskurven, das ist genau der eben von mir beschriebene Prozess.


Als Überprüfung, den Tiefpunkt hat die Funktion bei \(t=1.5 ; x=0.5\)


Ich hoffe ich konnte helfen
Grüße Cedric

Moin,
gesucht ist sozusagen das Minimum der y-Koordinate des Tiefpunkts von f(t,x). Dazu brauchst du erstmal die y-Koordinate des Tiefpunkts: \(f(t,\frac{t}{3})\). Dann schaust du dir den Term an und entscheidest für welchen t-Wert er am geringsten ist, hierbei bietet sich erneut Differenzialrechnung an.
LG