Kurvendiskussion einer Funktionenschar

Aufrufe: 40     Aktiv: 03.06.2021 um 19:24

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Hey,

ich hätte mal eine kleine Frage bezüglich einer Funktionenschar.

Die Aufgabe habe ich unten mit dem Bild meiner Rechnung angehängt. Ich habe zunächst erstmal die Funktion abgeleitet. Hier war ich mir schon nicht ganz sicher: Fallen von der Funktionenschar die letzten beiden, also der additive und der subrative Summand einfach weg?

 

Ich habe dann auch jedenfall mal den Tiefpunkt der Funktion bestimmt. Nun soll ich sagen "Für welchen Wert t0 die y-Koordinate am kleinsten wird". Das verstehe ich nicht ganz... Spontan würde ich sagen gegen 0 (0,0000000001), da dann x kleiner wird, aber ich weiß nicht ob das damit gemeint ist.

 

Vielen Dank für eure Hilfe!

LG Nico

 

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Tatsächlich ist es nicht 0. Das ganze ist ja wie ein Optimierungsproblem (wenn dir das etwas sagt). Genaugenommen suchst du ja das Minimum von \(y(t)\). Jetzt hast du ja noch die Funktion \(y(x,t)\). Bei so einer Funktion ist das Minimum zu finden nicht ganz so einfach. Aber wir können unser \(y(x,t)\) ziemlich leicht zu einem \(y(t)\) umwandeln, denn wir kennen ja \(x\) in Abhängigkeit von \(t\), nämlich \(x=\frac{1}{3}t\). Diese Abhängigkeit können wir nun in \(y(x,t)\) einsetzten:

\(y(x,t) = 3x^2-2tx+4t^2-11t\)
\(y(\frac{1}{3}t, t) = 3\cdot(\frac{1}{3}t)^2 - 2t\frac{1}{3}t-4t^2-11t = \frac{1}{3}t^2-\frac{2}{3}t^2-4t-11t\)

\(=>y(t)= \frac{11}{3}t^2-11t\)

Das sind also die y-Werte aller Tiefpunkt in Abhängigkeit von \(t\).

Nun musst du nurnoch den Tiefpunkt von dieser Funktion bestimmen, die Rechnung überlasse ich mal dir, du hast ja bereits gezeigt, dass du das kannst. 
Falls du noch genauere Erläuterungen zu solchen Aufgaben möchtest, dann erkundige dich mal nach der Bestimmung von Ortskurven, das ist genau der eben von mir beschriebene Prozess.


Als Überprüfung, den Tiefpunkt hat die Funktion bei \(t=1.5 ; x=0.5\)


Ich hoffe ich konnte helfen
Grüße Cedric
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Hey Cedric,

ich erhalte als Lösung t=0 und t=3, bist du dir sicher, dass t=1,5 und x= 0,5 herauskäme?

LG Nico
  ─   nico251 03.06.2021 um 10:16

Oh ja stimmt, das ist korrekt, hatte mich vertippt und das t bei 11t vergessen😅 t=0 und t= 3 ist richtig   ─   cedricr 03.06.2021 um 19:24

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Moin,
gesucht ist sozusagen das Minimum der y-Koordinate des Tiefpunkts von f(t,x). Dazu brauchst du erstmal die y-Koordinate des Tiefpunkts: \(f(t,\frac{t}{3})\). Dann schaust du dir den Term an und entscheidest für welchen t-Wert er am geringsten ist, hierbei bietet sich erneut Differenzialrechnung an.
LG
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