Bestimmen der Basis von Untervektorräumen

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Also ich habe folgendes Problem:

Ich muss hier ja die Basis der Untervektorräume von U,U´ und U geschnitten U´ bestimmen.
Nur hab ich um Himmels willen keinen Plan wie man eine Basis von einem Unterraum geschweige denn von 2 geschnittenen Unterräumen bestimmt... 
Kann mir da jemand sagen wie ich da vorgehe?
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Du weißt ja schonmal, dass \((u_1,u_2)\) ein EZS von \(U\) ist, du musst jetzt also die Familie \((u_1,u_2)\) auf lineare unabhängig überprüfen. Analog für \(U_2\). Beim Schnitt solltest du erstmal versuchen ein EZS aufzustellen (musstdu dann auch nachweisen).
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Für eine Basis von $U$ bzw $U'$ musst nur die Matrix aufstellen, die die erzeugenden Vektoren als Zeilen enthält und dann mit dem Gauß-Algorithmus die Zeilen reduzieren. Die übrig bleibenden Vektoren sind linear unabhängig und liefern dir eine Basis des Untervektorraums.
 
Eine Basis von $\operatorname{U\cap U'}$ findest du mit Hilfe des Dimensionssatzes: 

$$\dim(U\cap U') + \dim(U+U') = \dim U + \dim U'.$$
wobei $U+ U' = \operatorname{span}(U\cup U')$.
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Also muss ich die Matrix bei U bzw. U´ nicht komplett ausrechnen sondern nur reduzieren oder? und das was dann übrig bleibt wieder als Vektoren schreiben und dann erhalte ich die Basis von den Untervektorräumen?   ─   anonym1193a vor 3 Tagen, 13 Stunden

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Ja, genau. Linear unabhängige Vektoren lassen sich nicht weiter reduzieren und liefern ein Erzeugendensystem des Unterraums.   ─   zest vor 3 Tagen, 13 Stunden

Ich hab jetzt u1 und u2 in eine Matrix reingetan und reduziert und hab: (1 3 -2 4) , (0 -2 7 5) rausbekommen. Jetzt sollte das ja die Basis sein? Sorry wenn ich so dumm Frage aber damit hab ich mich jetzt die letzen 3 Tage beschäftigt und die Lösung erscheint mir viel zu einfach xD. Aber vielen Dank für dein schnellen Antworten!   ─   anonym1193a vor 3 Tagen, 13 Stunden

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Diese beiden Vektoren sind jetzt eine Basis des Unterraums $U$. Beachte, dass $U = \operatorname{span}(u_1,u_2)$, das heißt deine zwei linear unabhängigen Vektoren, die du erhalten hast sind minimal Erzeugend und maximal linear unabhängig. Die zwei Vektoren spannen eine $2$-dimensionale Hyperebene im $\mathbb R^4$ auf.

Ähnlich wie $(1,0,0,0)$ und $(0,1,0,0)$ eine Ebene (die $x,y$-Ebene im $x,y,z,t$-Raum) aufspannen.
  ─   zest vor 3 Tagen, 12 Stunden

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