Du kannst nur vereinfachen/kürzen, wenn du Faktoren hast. Das geht aber nur, wenn es sich um eine Linearfaktoren handelt. Wir müssen also nach Nullstellen des Zählers und des Nenners suchen um diese jeweils als Linearfaktoren zu schreiben. Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten. abc-Formel/pq-Formel/Polynomdivision etc.

Mit der Mitternachtsformel erhalten wir die Zählernullstellen: \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3/4\).

Für den Nenner rate ich \(x = 1\) als Nullstelle und mache eine Polynomdivision. Daraufhin kann man wieder die Mitternachtsformel anwenden: \(x_3 = -1\) und \(x_4,5 = 1\).

Also:

\(\frac{4x^2-x-3}{x^3-x^2-x+1} = \frac{4(x+\frac43)(x-1)}{(x+1)(x-1)^2} = \frac{4(x+\frac43)}{(x+1)(x-1)}\)

Das kann man noch umschreiben, wenn man will:

\(\frac{4x+3}{x^2-1}\)

(dritte binomische Formel im Nenner)