Wie löst man \( \sqrt{7-24i} \)?

Aufrufe: 663     Aktiv: 18.04.2020 um 22:32
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Wie löst man \( \sqrt{7-24i} \)?

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Du musst die komplexe Zahl unter der Wurzel erstmal in Exponentialschreibweise umformen. Anschließend kannst du die Wurzel mit Hilfe der Potenzgesetze ziehen.

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Exponentialschreibweise:
\( 7^{0.5}-24i^{0.5} \)

Und dann?
   ─   sanja 18.04.2020 um 21:51
Mit Exponentialschreibweise meine ich die Schreibweise in der Form \(re^{i\rho}\). Man kann jede komplexe Zahl so umschreiben. Ist dir das unbekannt? Dann muss es wohl noch eine andere Möglichkeit geben,   ─   benesalva 18.04.2020 um 22:03
Wir nennen das Polarform. Das Problem ist, dass 7 und -24i unter der Wurzel ist und ich deswegen nicht weiss, was ich tun soll.   ─   sanja 18.04.2020 um 22:06
Du kannst erst \(7-24i\) in Polarform umwandeln und dann die Wurzel ziehen.   ─   vetox 18.04.2020 um 22:07
Okay dann forme erstmal die komplexe Zahl z=7-24i in die Polarform um. Anschließend kannst du dann aus der Polarform die Wurzel ziehen.   ─   benesalva 18.04.2020 um 22:08
Dann erhalte ich 25e(ca73°)

Und was soll ich jetzt mit der Wurzel tun? ^^   ─   sanja 18.04.2020 um 22:12
\(z_k=\sqrt{25e^{i(-73+k\cdot 360)}}=5\sqrt{e^{i(-73+k\cdot 360)}}=5\left(e^{i(-73+k\cdot 360)}\right)^{1/2}=5e^{i(-73/2+k\cdot 360/2)}\) mit \(k=0,~1\)   ─   vetox 18.04.2020 um 22:17
Ich habe dann die Wurzel gezogen und dann wieder in die Normalform umgewandelt.

Jetzt habe ich 4+3i, stimmt das?   ─   sanja 18.04.2020 um 22:19
Denk dran, beim Ziehen der \(n\)-ten Wurzel gibt es immer \(n\) Lösungen, also brauchst du noch die Zweite.   ─   vetox 18.04.2020 um 22:21
Du hast außerdem einen Vorzeichenfehler, der Winkel ist negativ   ─   vetox 18.04.2020 um 22:23
Ich glaube ich hab ein Minus irgendwo vergessen... sollte minus 3i geben, mhm.
Und ich kann deine Formel nicht richtig sehen, liegt das an mir bzw. meinem Computer?   ─   sanja 18.04.2020 um 22:23
Nenen das liegt an mir, hab irgendwo ne Klammer vergessen, ich suche noch   ─   vetox 18.04.2020 um 22:24
Und warum ist der Winkel negativ? Von wo weiss ich das?   ─   sanja 18.04.2020 um 22:25
\(\arctan\left(-\frac{24}{7}\right)\)   ─   vetox 18.04.2020 um 22:27
Weil \(\rho = arctan(-24/7)\) und da kommt was Negatives raus.   ─   benesalva 18.04.2020 um 22:27
Ich habe den arcsin mit 24/25 berechnet... aber ich habe dort das Vorzeichen vergessen...

Jetzt hab ich die richtige Lösung. Vielen Dank!   ─   sanja 18.04.2020 um 22:32

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Der Weg der immer Funktioniert:

Den Ausdruck unter der Wurzel in Exponentialform umwandeln und dann unter Anwendung des Potenzgesetzes \(\sqrt[n]{x^m}=x^{m/n}\) und der Mehrdeutigkeit Komplexer Zahlen die (in diesem Falle) zwei Lösungen bestimmen.

Hier kannst du auch geschickt vorgehen, indem du \(7-24i\) in einen Ausdruck der Form \((a-bi)^2\) umwandelst, sodass sich die Quadratwurzel direkt aufhebt. Das geht hier durch durch geschicktes Erweitern. Du erhälst:

\(7-24i=16-9-27i\)

Jetzt erhälst du mit \(i^2=-1\)

\(16-9-24i=16+9i^2-27i\)

Das ist eine Binomische Formel:

\(16-24i+9i^2=(4-3i)^2\)

Durch Wurzelziehen erhälst du

\(z_1=4-3i\)

Die zweite, um \(\pi\) rotierte Lösung ist damit

\(z_2=-4+3i\)

Zugegeben, villeicht ist das auch der kompliziertere Weg, aber schön find ich ihn trotzdem ;)

 

 

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