Unendlich dimensionaler VR

Aufrufe: 407     Aktiv: 25.04.2023 um 21:32

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Hallo:) Ist der Vektorraum aller stetigen Funktionen unendlichdimensional?
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Vielleicht hattet ihr auch mal ein wenig Fourieranalysis, dort sieht man u.a., dass die trigonometrischen Basispolynome $$e_k:=e^{ikx}$$für $k\in \mathbb{Z}$ linear unabhängig sind (sogar ein Orthonormalsystem des Unterraums $C(T)$)   ─   fix 25.04.2023 um 21:29
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Betrachte die Folge $f_n(x)=x^n$ mit $n\in\mathbb{N}$ und mache dir klar, dass sie linear unabhängig ist.
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Danke für die Antwort! Wenn x^n eine Basis wäre, gäbe es ja dann unendlich viele linear unabhängige Basisvektoren (f1(x),f2(x),...). Also sollte der Vektorraum dann unendlich Dimensional sein, oder?   ─   juliusdadas 22.04.2023 um 14:57

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Ich glaube Cauchy möchte auf folgendes heraus. Wenn $V$ ein endlich dimensionaler Vektorraum ist, dann sind alle Untervektorräume $U\subset V$ auch endlich dimensional. Das heisst wenn du einen Untervektorraum $U\subset V$ findest der unendlich dimensional ist, dann ist auch $V$ unendlich dimensional.

Nun wenn bemerkst du aber, dass der Vektorraum aller Polynome enthalten ist in dem Vektorraum aller stetigen Funktionen. Nun musst du nur zeigen dass der Vektorraum aller Polynome unendlich dimensional ist und du bist fertig.
  ─   karate 22.04.2023 um 15:04

Fände auch den Begriff "linear unabhängig" statt Basis hier besser. Ad hoc würde ich jetzt Stone-Weierstraß ziehen, um zu zeigen, dass es eine Basis ist. Und das ist vielleicht zu hoch gegriffen für den Kontext dieser Fage. Edit: Wie sich heraus stellt, sind die auch nur eine SCHAUDERbasis.   ─   crystalmath 23.04.2023 um 20:44

Dass die Monome eine Basis bilden, ist an sich trivial und wurde sicherlich auch schonmal irgendwo behandelt.   ─   cauchy 23.04.2023 um 20:52

Uff cauchy, jetzt betätige ich den downvote-button. Polynome sind höchstens eine Schauderbasis (und insb. keine "klassische" Basis) und der Beweis dafür ist auch keineswegs trivial. Mit diesem Wort um sich zu werfen bei einer falschen Aussage finde ich harten Tobak. Nehme den natürlich nach einem Edit zurück.   ─   crystalmath 23.04.2023 um 21:11

Was ist bei dir eine Schauderbasis? Die Monome bilden sehr wohl eine Basis des Vektorraums aller Polynome. Meines Erachtens gibt es keinen Grund für einen Downvote.
  ─   karate 23.04.2023 um 21:36

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Ja, aber eben nicht eine Basis vom Raum aller stetigen Funktionen, wie das die Antwort suggeriert.   ─   crystalmath 23.04.2023 um 21:48

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Das Problem ist, dass Ihr nachlässigerweise von einer "Basis" redet, aber nicht sagt, Basis WOVON. Als Helfy sollte man auf korrekte Formulierungen achten. Es geht dem Fragy um den Raum der stetigen Funktionen. Da hat sich crystalmath noch sehr zurückhaltend mit seinem "fände auch ... besser" ausgedrückt. Fakt ist, die Frage der Basis von $C^0$ ist alles andere als trivial. Und für vertiefte Überlegungen welche Art von Basis es geben mag (interessiert das Fragy ziemlich sicher null), spielt auch noch die Frage des Defbereichs unseres $C^0$ eine Rolle, nämlich kompaktes Intervall oder nicht.   ─   mikn 23.04.2023 um 21:59

Eine Antwort im Nachhinein aufgrund eines Kommentars zu downvoten, ist ziemlicher Käse. Meine Antwort diente nicht eines vollständigen Beweises, sondern eher einer Idee, warum es sich um einen unendlich dimensionalen Vektorraum handelt. Mögliche "Hilfsmittel" muss das Fragy natürlich in seinen Unterlagen suchen. Habe aber Basis durch linear unabhängig ersetzt.   ─   cauchy 24.04.2023 um 01:20

Nein, deine Antwort war ja auch falsch und du hast trotz Nachhaken darauf bestanden und es (fälschlicherweise) trivial genannt. Habe jetzt den downvote natürlich zurückgezogen, wie versprochen.   ─   crystalmath 24.04.2023 um 12:27

Ich denke Antwort ist richtig. Wenn es gibt eine unendliche linear unabhängige Familie, der VR ist unendlich   ─   mathejean 25.04.2023 um 19:53

Ja, jetzt ist die Antwort richtig. Vorher war sie es nicht.   ─   mikn 25.04.2023 um 21:10

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