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Benutze mal folgenden Ansatz (Induktionsanfang und -vorraussetzung seien schon berechnet/gegeben):
(IS) \(k \leadsto k +1:\) \[\sum_{j=0}^{k + 1}(-1)^j \binom{x}{j} \;=\; \sum_{j=0}^{k}(-1)^j \binom{x}{j} \;+ (-1)^{k+1}\binom{x}{k+1} \;\overset{(IV)}{=}\; (-1)^{k}\left[ \binom{x - 1}{k} - \binom{x}{k+1}\right]\]
Den Ausdruck in der letzten Klammer solltest du nun mithilfe des Ergebnisses der vorherigen Teilaufgabe umformen können.
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posix
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Benutze die Gleichung aus Teilaufgabe (a) mit \(\binom{x}{k+1}\), diese kannst du umgeformt in deinen Beweis einsetzen.
Also \(\binom{x}{k+1} = \binom{x-1}{k} + \binom{x-1}{k+1}\). ─ posix 23.11.2020 um 15:05
Also \(\binom{x}{k+1} = \binom{x-1}{k} + \binom{x-1}{k+1}\). ─ posix 23.11.2020 um 15:05
Bist Du noch dran? Hast Du den Ansatz von posix verstanden?
Die Produktdarstellung brauchst Du überhaupt nicht.
Die Umformung der eckigen Klammer ist einfach, wenn Du den Subtrahend durch die Summe aus der letzten Kommentarzeile von posix ersetzt. ─ xx1943 23.11.2020 um 18:36
Die Produktdarstellung brauchst Du überhaupt nicht.
Die Umformung der eckigen Klammer ist einfach, wenn Du den Subtrahend durch die Summe aus der letzten Kommentarzeile von posix ersetzt. ─ xx1943 23.11.2020 um 18:36
Die Schreibweise mit dem Produktzeichen ist wirklich nur eine andere Schreibweise.
Du kannst die Beweisidee (wenn es denn sein muss) 1:1 in die Produktschreibweise umsetzen.
Warum gibt es diese neue Schreibweise überhaupt?
1) Man möchte z.B. bei der Definition der Fakultät die Pünktchen vermeiden n! = 1*2*3....*n
2) Computer lieben rekursive Definitionen
3) Man kann leichter generalisieren
Die Produktschreibweise ist auch nicht schwerer als die aus der Schule bekannte, ABER ungewohnt! ─ xx1943 24.11.2020 um 09:56
Du kannst die Beweisidee (wenn es denn sein muss) 1:1 in die Produktschreibweise umsetzen.
Warum gibt es diese neue Schreibweise überhaupt?
1) Man möchte z.B. bei der Definition der Fakultät die Pünktchen vermeiden n! = 1*2*3....*n
2) Computer lieben rekursive Definitionen
3) Man kann leichter generalisieren
Die Produktschreibweise ist auch nicht schwerer als die aus der Schule bekannte, ABER ungewohnt! ─ xx1943 24.11.2020 um 09:56