Hallo,

zuerst zur 1)

Du hast einen Koeffizienten falsch. Vielleicht auch nur ein Tippfehler. Deine Matrix ist:

$$ T_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$

zur 2) Ich finde die Aufgabe auch sehr seltsam gestellt. Ich kann mir die Bearbeitung nur auf folgende Weise vorstellen.

Wir bezeichnen die Abbildungsmatrix der Abbildung

$$ \varphi : U \to V $$

mit \( \mathcal{A} \) einer Basis von \( U \) und \( \mathcal{B} \) einer Basis von \( V \) mit

$$ M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}(\varphi ) $$

Wenn wir nun in die Basen \( \mathcal{A}' \) für \( U \) und in \( \mathcal{B}' \) für \( V \) wechseln, berechnen wir die neue Abbildungsmatrix 

$$ M_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{A}'}(\varphi) $$

über

$$ M_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{A}'}(\varphi) = T_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} \cdot M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}(\varphi) \cdot T_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}'} $$

Wenn wir von links eine Transformationsmatrix multiplizieren, wechseln wir also die Basis des Zielraums und von rechts die Basis des Definitionsraums. 

Dabei ist 

$$ (T_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} )^{-1} = T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} $$

Soviel zur Theorie. :D Nun zu deiner Aufgabe. 

Wenn ich deine Darstellung \( _{E_3}[\varphi]_{\mathcal{B}} \) richtig verstehe, sollst du zu der Abbildung

$$ \varphi \left( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 2x_2 \\ x_1 + x_3 \\ 0 \end{pmatrix} $$

die Abbildungsmatrix bzgl der Basis \( \mathcal{B} \) im Definitionsraum (\(U\)) und der Basis \( E_3 \) im Zielraum (\(V\)) berechnen. 
Da dies am einfachsten ist, bestimmen wir zuerst die Abbildungsmatrix bzgl der Standardbasis \( E_3 \). Wie sieht diese aus?

$$ M_{E_3}^{E_3} = ? $$

Nun haben wir schon die gewünschte Basis im Zielraum, deshalb müssen wir nur noch die im Definitionraum ändern. 

Wir sollen die Matrix aus 1) nutzen. Der einzige Grund wie das Sinn machen könnte ist, wir wechseln von der Standardbasis zuerst in \( \mathcal{B}' \) und von da dann mit der Matrix aus 1) in die Basis \( \mathcal{B} \). 
Das macht auch meiner Meinung nach nur Sinn, weil die Transformationsmatrix von \( E_3 \) nach \( \mathcal{B}' \) sehr einfach ist:

Du kannst die Transformationsmatrix (meiner Meinung nach) nämlich schneller über die Linearkombination der Basisvektoren bestimmen. Da wir hier schon 2 gleiche Elemente haben, geht das sehr schnell.

Wir stellen die Elemente der alten Basis als Linearkombination der neuen Basisvektoren da. Die Koeffizienten ergeben dann die Spalten der Transformationsmatrix. Da wir aber die Inverse benötigen, drehen wir die Basen um.

Mit

$$ E_3 = \{ e_1 , e_2 , e_3 \} $$

und

$$ \mathcal{B}' = \{ b'_1 , b'_2 , b'_3 \} $$

gilt

$$ \begin{array}{ccl} b'_1 & = & e_1 \\  b'_2 & = & e_3 \\ b'_3 & = & e_1 + e_2  \end{array} $$

und damit erhalten wir die Transformationsmatrix 

$$ T_{E_3}^{\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Nun gilt 

$$ M_{E_3}^{\mathcal{B}} = M_{E_3}^{E_3} \cdot T_{E_3}^{\mathcal{B}'} \cdot T_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} $$

So erhälst du die gewünschte Matrix unter Zuhilfenahme der Matrix aus 1). Was meinst du dazu? Kannst du die Matrix berechnen? Wenn doch noch was unklar ist, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian