Beweis, Teilbarkeit

Aufrufe: 104     Aktiv: 03.06.2022 um 17:26

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Hallo,

mich würde interessieren, ob es einen verständlichen Beweis gibt,
dafür, dass die Quersumme einer natürlichen Zahl genau dann durch 3 bzw. 9 teilbar ist, wenn die Zahl selbst durch diese Zahlen teilbar sind.

VG
Seb
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Hey, das kommt darauf an, über welches Grundwissen du verfügst. Bist du mit der modulo-Arithmetik vertraut? Falls ja, dann ist der Beweis in beiden Fällen sehr einfach und verläuft analog. 

Jede Zahl lässt sich schreiben als $z=\sum_{k=0}^n a_k\cdot 10^k$ (das sollte als Dezimalschreibweise bekannt sein). Betrachtet man diese Zahl nun modulo 3, so gilt wegen $10^k\equiv1^k\equiv 1\mod 3$, dass $z\equiv \sum_{k=0}^n a_k\mod 3$, was aber gerade die Quersumme von $z$ ist. Wenn also die Quersumme durch 3 teilbar ist, also den Rest 0 lässt, so lässt auch $z$ wegen der obigen Rechnung den Rest 0 bei Division durch 3.
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Selbstständig, Punkte: 23.2K

 

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Moin,
Eine Dezimalzahl lässt sich wie folgt schreiben:
\(a_0+a_110+a_210^2...+a_n10^n\) Wenn du diese Zahl nun durch 3 bzw. 9 teilst, wird bei den Zehnerpotenzen je nur eine 1 als Rest bleiben.
Dann bleibt also bei Division durch 3 bzw. 9 noch übrig:
\(a_0+a_1+...+a_n\), was ja gerade die Quersumme ist. Falls die Quersumme durch 3 bzw. 9 teilbar ist, ist also auch die Zahl dadurch teilbar.

LG

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Student, Punkte: 2.25K

 

Also vereinfacht gesagt, weil 10 mod 9 = 1 bzw. 10 mod 3 = 1 ?
Versuch mir das gerade noch anhand von ein paar Beispielen klar zu machen.

Vielen Dank für die Veranschaulichung der Antwort von Cauchy!
BG
Seb
  ─   scienceseb 03.06.2022 um 16:17

genau   ─   fix 03.06.2022 um 17:05

Veranschaulicht wird hier nichts. Inhaltlich ist es exakt dasselbe, nur weniger formal aufgeschrieben. Aber solange es dir weiterhilft, ist alles gut. :)   ─   cauchy 03.06.2022 um 17:26

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