Stochastik Beweis

Aufrufe: 107     Aktiv: 12.05.2022 um 09:43

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Wir sollen im Unterricht einen Beweis durchführen.

Gegeben wurde uns Z = (x- µ) / sigma 
sigma = Standard abweichung
x = diskrete Zufallsvariable
µ = der Erwartungswert

Beweise folgendes:
E(Z) = 0 
Var(Z) = 1

Ich sitze daran seit einer Stunde und komme nicht wirklich weiter. Mein größtes Problem ist, dass ich mir nicht sicher bin wie ich Z als in Erwartungswert und Varianz einsetze.

Zum beispiel:
Var(Z) = ∑((xi-µ )/sigma)-µ)^2*pi                 Ist dies richtig formuliert?


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Wie habt ihr denn die Varianz und den Erwartungswert definiert? Und wie ist deine Zufallsvariabel X verteilt? Ich nehme an sie ist Gaussverteilt mit varianz $\sigma$ und Erwartungswert $\mu$
  ─   karate 12.05.2022 um 08:09

Es soll ein allgemeiner Beweis sein. Daher ist sie nur als diskret definiert.
Der Erwartungswert und Varianz sind wie sie sonst definiert sind.
E(X) = ∑xi*pi
Var(X) = E((x- µ )^2)
  ─   usera61041 12.05.2022 um 08:23

Also ist X nicht Gaussverteilt, das würde aber sonst nicht viel Sinn ergeben?
Diskret hat nichts damit zu tun ob der Beweis allgemein ist oder nicht das sagt nur etwas über die Eigenschaften der ZV aus.
  ─   karate 12.05.2022 um 08:25

In der Aufgabenstellung steht nur dass sie zur standadisierten Zufallsvariable gehört.
Also ich vermute dass sie nicht gausverteilt ist.
  ─   usera61041 12.05.2022 um 08:30

Also ich glaube nicht dass das dann geht, denn du kannst schon geometrisch keine beliebige Zufallsvariabel standardisieren und eine Normalverteilung erhalten. Dafür gibt es einige Beispiele.   ─   karate 12.05.2022 um 08:36
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Also gut ich versuche dir mal ein wenig zu helfen. 


wir nehmen also an dass X eine diskrete gaussverteilte ZV ist mit Varianz $\sigma^2$ und Erwartungswert  $\mu$. Wir definieren die sogenannte Normalverteilte ZV $$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$ und möchten den Erwartungswert und die Varianz berechnen.

Beginnen wir mit dem Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariabel. Wie du gesagt hast ist für eine diskrete ZV der Erwartungswert definiert als $$E(X)=\sum_{i\in I} x_i P(X=x_i)$$ wobei wir annehmen dass $X$ die Werte $(x_i)_{i\in I}$ annimmt. Aber wir versuchen nicht die Definition auszunutzen, sondern den folgenden Fakt. Sei also $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$. Nun gilt $$E(Z)=E\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)=E\left(\frac{1}{\sigma}X-\frac{\mu}{\sigma}\right)=\frac{1}{\sigma}E(X)-\frac{\mu}{\sigma}$$ nun was weisst du aber über den Erwartungswert von $X$ und was gibt dir das denn für die Gleichung?



Nun versuche den Rest selbst. 

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Ich vestehe nicht wieso man die Werte in E() einfach ausklammern kann?
Aber ansonsten verstehe ich dass, man jetzt E(X) = μ ist, dadurch wird es null.
  ─   usera61041 12.05.2022 um 09:22

Habt ihr schon Eigenschaften über den Erwartungswert gehabt? Wenn nicht versuche das mal zu zeigen ist wine gute Übung. Also zeige wenn $X$ eine diskrete ZV ist und $a,b\in \Bbb{R}$ dann gilt $$E(aX+b)=aE(X)+b$$. Man könnte sogar zeigen, dass wenn $Y$ eine weitere ZV ist dann gilt $$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$$ also siehst du dass die obere Gleichung ein Spezialfall von der Unteren ist. Aber du brauchst ja nur die obere. Hier nehme ich schwer an kannst du den Beweis über die Definition machen mit der Summe.   ─   karate 12.05.2022 um 09:43

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