Also gut ich versuche dir mal ein wenig zu helfen. 

wir nehmen also an dass X eine diskrete gaussverteilte ZV ist mit Varianz $\sigma^2$ und Erwartungswert  $\mu$. Wir definieren die sogenannte Normalverteilte ZV $$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$ und möchten den Erwartungswert und die Varianz berechnen.

Beginnen wir mit dem Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariabel. Wie du gesagt hast ist für eine diskrete ZV der Erwartungswert definiert als $$E(X)=\sum_{i\in I} x_i P(X=x_i)$$ wobei wir annehmen dass $X$ die Werte $(x_i)_{i\in I}$ annimmt. Aber wir versuchen nicht die Definition auszunutzen, sondern den folgenden Fakt. Sei also $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$. Nun gilt $$E(Z)=E\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)=E\left(\frac{1}{\sigma}X-\frac{\mu}{\sigma}\right)=\frac{1}{\sigma}E(X)-\frac{\mu}{\sigma}$$ nun was weisst du aber über den Erwartungswert von $X$ und was gibt dir das denn für die Gleichung?

Nun versuche den Rest selbst.