Hallo, meine Frage ist, ob es stimmt, das der Polynomraum ein Untervektorraum des Funktionenraums darstellt.

Ich hab mir das überlegt, da ja z.b. f(x) = sin(x) im Funktionenraum ist, aber nicht im Polynomraum.

Stimmt also meine Folgerung?

Damit eine Menge einen Vektorraum darstellt muss sie eine Reihe von Eigenschaften haben. Für Untervektorräume ist das etwas einfacher, da diese bereits viele der Eigenschaften des Vektorraums automatisch erben. Zu prüfen bleibt lediglich, ob die Teilmenge unter der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation abgeschlossen ist. In diesem Fall gilt es also diese beiden Eigenschaften für die Menge der Polynome zu prüfen (Vorrausgesetzt man hat die Vektorraumeigenschaft für den Funktionenraum schon gezeigt oder kann sie als gegeben vorraussetzen).

Ausserdem wird immer sowas geschrieben wie: " ...der R-Vektorraum ..."  und dann kommt der "Name" des Vektorraums oder?

Und R ist indemfall der Körper, über dem der Vektorraum definiert wird, oder aus dem die Ergebnisse des Vektorraums kommen oder wie kann man sich das vorstellen bzw. warum steht das immer dabei?

Zu einem Vektorraum gehören immer zwei Dinge: Nämlich die Vektoren selbst und der sogenannte Skalarkörper, der die "Zahlen" (Skalare) enthält mit denen du die Vektoren multiplizieren darfst. In einfachen Beispielen ist dieser Körper meist die Menge der reellen Zahlen. Bspw. ist der \(\mathbb{R}^n\) ein \(\mathbb{R}\)-Vektorraum, denn du kannst die Vektoren mit reellen Zahlen multiplizieren und erhälst wieder Vektoren aus dem \(\mathbb{R}^n\).  Der \(\mathbb{R}^n\) ist aber kein \(\mathbb{C}\)-Vektorraum, denn bspw. ist \(i\cdot v\) kein reeller Vektor mehr, wenn \(v\) nicht der Nullvektor ist (mit \(i\) ist die imaginäre Einheit gemeint).

Und sagt das was darüber aus, ob der Vektorraum endlichdimensional oder unendlichdimensional ist?

Die Dimension ist die Anzahl der Basiselemente (falls endlich) oder unendlich. Die Dimension des Vektorraums hängt dabei in der Tat von der Wahl des Skalarkörpers ab. Die Menge der komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) bildet einen Vektorraum. Wählt man als Skalarkörper auch die komplexen Zahlen, dann hat der \(\mathbb{C}\)-Vektorraum \(\mathbb{C}\) die einelementige Basis \(\{1\}\). Der Grund ist trivial: Jeder Vektor \(z\in\mathbb{C}\) lässt sich schreiben als (komplexes) Vielfaches des Basisvektors, nämlich \(z = z\cdot 1\) (Anm.: Mache dir klar, welches die Vektoren und welches die Skalare in der Gleichung sind). Fasst man \(\mathbb{C}\) hingegen als \(\mathbb{R}\)-Vektorraum auf, so benötigt man zwei Basiselemente, bspw. \(\{1,i\}\). Jede komplexe Zahl \(z\) lässt sich als Linearkombination (mit jetzt reellen Skalaren!) der Basiselemente schreiben, nämlich \( z = Re(z)\cdot 1 + Im(z)\cdot i\).

Also hat der \(\mathbb{R}\)-Vektorraum \(\mathbb{C}\) die Dimension 2. Dies wird geometrisch auch durch die sog. Gaußsche Zahlenebene deutlich in der man komplexe Zahlen üblicherweise einzeichnet und die ja auch zweidimensional ist.

Es gibt auch noch exotischere Beispiele. Aus dem selben Grund wie oben hat der \(\mathbb{R}\)-Vektorraum \(\mathbb{R}\) die Dimension 1. Der \(\mathbb{Q}\)-Vektorraum \(\mathbb{R}\) dagegen hat die Dimension \(\infty\).