Periodische Brüche benutzt man im Alltag nur selten. Bei einer Frage bei "Wer wird Millionär?" hat mal eine Kandidatin mit "66, Peridode 6" geantwortet. Da ging es um die prozentualen Steigerungen der unteren Gewinnstufen bei eben jenen Quiz, hier um die prozentuale Steigerung bei 300=>500€.
Ansonsten kann ich mich an keine Verwendung von periodischen Brüchen außerhalb des Mathematikunterrichts erinnern. Drum halte ich diese Fragestellung nicht für besonders ergiebig.

Man kann ja die Zahlen in folgende Kategorien aufteilen:

• Endliche Dezimalbrüche (dazu gehören auch die ganzen Zahlen), z.B. 4 oder $0,\!2$.
• Unendliche periodische Dezimalbrüche, z.B. $66,\!\overline{6}$  oder $1/7 = 0,\overline{142857}$.
• Unendliche periodische Dezimalbrüche, z.B.  $1,\!1\,01\,001\,0001\,00001\,000001\ldots$  .

Ein jeder Bruch gehört immer zu den ersten beiden Kategorien. D.h. wenn die Dezimaldarstellung eines Bruch nicht abbricht, dann wird sie irgendwann periodisch. Das sieht man z.B. ein, wenn man "1:7" schriftlich berechnet. Da sieht man: Bei jeder Dezimalstelle gibt es einen Divisionsrest, der nie 0 wird. Stattdessen wiederholen sich die Divisionsreste 3,2,6,4,5,1 periodisch - was dann das Ergebnis periodisch macht.

Damit hättest Du dann auch gezeigt, dass es Zahlen gibt, die irrational, also keine Brüche sind, z.B. 1,101001000100001000001... . Ist vielleicht auch eine spannende Erkenntnis. Die alten Griechen jedenfalls waren vollkommen konsterniert, als sie das bemerkten - könnte man vielleicht auch erwähnen.