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Zu zeigen: $$ a_{x+1}*a_{x-1}-a^2_{x} = (-1)^x \forall x \in {N} \geq 1$$
$$ a_0 := 0, a_1:=1, a_x = a_{x-2}+a_{x-1}$$

Auf mich wirkt hier die v. Induktion sinnig, deshalb habe ich folgenden Ansatz gewählt:
IA: x=1
$$a_2*a_0-a^2_1 = (a_0+a_1)*a_0-a^2_1 = -1 = (-1)^1$$
IS: x-->x+1
$$a_{x+2}*a_x-a^2_{x+1} = (a_x*a_{x+1})*a_x-(a_{x-1}+a_x)^2$$
$$= a^2_x+a_{x+1}*a_x-a^2_{x-1}-2a_{x-1}*a_x-a^2_x$$
$$=(a_{x-1}+a_x)*a_x-a^2_{x-1}-2a_{x-1}*a_x$$
$$=a_{x-1}*a_x+a^2_x-a^2_{x-1}-2a_{x-1}*a_x$$
$$= a^2_x-a^2_{x-1}-a_{x-1}*a_x$$
Das ist ja jetzt schonmal gar nicht so weit von der IV weg. Insgesamt zu viel ist die $a^2_{x-1}$ und zu wenig ist im Produkt das $a_x$. Sieht vielleicht irgendwo jemand einen Fehler oder eine Stelle, wo man eine "schlaue Null" dazurechnen könnte, um die IV anzuwenden?
Liebe Grüße Miguel
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1 Antwort
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Du hast in Deiner Rechnung ein paar Tippfehler (oder auch Rechenfehler, hab ich nicht geprüft).
Zum Ziel kommt man relativ leicht, wenn man in $a_{x+1}^2$ nur ein $a_{x+1}$ durch die Rekursion ersetzt (nicht beide, wie Du es gemacht hast).
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Super, vielen lieben Dank, ich konnte die Aufgabe so lösen .-D   ─   miguel 17.11.2021 um 20:19

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