Also wenn du gar keine Idee hast dann ist es vielleicht keine gute Idee dich einfach so auf Aufgaben zu stürzen. Schau doch erstmal ein paar Videos auf YT was Komplexe Zahlen überhaupt sind etc. Aber trotzdem hier die Lösungsansätze:

a)

Wie im Text erwähnt setzt sich eine Komplexe Zahl \(z\) zusammen aus Realteil \(a\) und Imaginärteil \(b\). Es gilt

\(z=a+ib\)                wobei \(i^2=-1\)

Jetzt sollst du das mit \(y=c+id\) addieren. Du musst also

\(z+y=a+ib+c+id\)

berechnen. Da siehst du, wenn du umsortierst und \(i\) ausklammerst, dass

\(z+y=(a+c)+i(b+d)\)

Bei der Subtraktion das Selbe

\(z-y=a+ib-(c+id)=a+ib-c-id=(a-c)+i(b-d)\)

Es gilt also

\(z\pm y=(a\pm c)+i(b\pm d)\)

Als Text: Addiert man zwei komplexe Zahlen entspricht das der separaten Addition von Real und Imaginärteil.

b)

Hier musst du genauso vorgehen wie in a), nur eben mit \(\cdot\) und \(:\)

\(z\cdot y=(a+ib)\cdot (c+id)\)

Einfach die Klammern ausmultiplizieren und zusammenfassen. Denk dran, dass \(i^2=-1\)

Für

\(\dfrac{z}{y}=\dfrac{a+ib}{c+id}\)

gibt es einen Trick: Erweitere den Bruch mit dem komplex konjugierten des Nenners. Falls du nicht weißt was das ist, hier die Kurzform:

Das komplex konjugierte von \(y\), geschrieben als \(y^*\) ist das selbe wie \(y\), nur dass du das Vorzeichen des Imaginärteils tauscht. Also

\(y=c+id~~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~y^*=c-id\)

Jetzt berechne

\(\dfrac{z}{y}=\dfrac{z}{y}\cdot\dfrac{y^*}{y^*}=\dfrac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}\)

Auch hier wieder Klammern ausmultiplizieren und zusammenfassen. Nicht vergessen: \(i^2=-1\)

c)

Genau so vorgehen wie Im Text beschrieben. Zeichne den Punkt und schau dir das Dreieck an was sich ergibt. Mit \(\sin\) und \(\cos\) lassen sich dann die Umwandlungen bestimmen, das ist einfach nur Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck.

Zur Kontrolle die Ergebnisse:

\(a=|z|\cos(\phi)\)      und     \(b=|z|\sin(\phi)\)           mit         \(z=\sqrt{a^2+b^2}\)

d)

Das ist schon eine sehr ausführliche Aufgabe aber ich versuche mich kurz zu fassen.

Die Tylorreihe für \(\sin(x)=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\dots\)

Die Tylorreihe für \(\cos(x)=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\dots\)

Die Taylorreihe für \(e^x\) ist

\(e^x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{x^k}{k!}=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dfrac{x^5}{5!}+\dfrac{x^6}{6!}+\dots\)

Um die Aussage zu Beweisen, lassen wir erstmal \(r\) weg und setzen für \(x\) \(i\phi\) ein:

\(e^{i\phi}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{(i\phi)^k}{k!}=1+i\phi+\dfrac{(i\phi)^2}{2!}+\dfrac{(i\phi)^3}{3!}+\dfrac{(i\phi)^4}{4!}+\dfrac{(i\phi)^5}{5!}+\dfrac{(i\phi)^6}{6!}+\dots\)

Wenn wir uns das genauer anschauen haben wir in den Summanden \(i^n\), wobei \(n\) gerade oder ungerade ist.

Überlgen wir uns was da jeweils rauskommt:

\(i^0=1\)

\(i^1=i\)

\(i^2=-1\)

\(i^3=-i\)

\(i^4=1\)

\(i^5=i\)

\(\vdots\)

Du siehst, es ist periodisch. Überall wo der Exponent gerade ist kommt abwechselnd \(-1,1,-1,1,-1,\dots\) raus und bei den ungeraden kommt \(i,-i,i,-i,\dots\) raus. Setzen wir das in die Tylorreihe ein erhalten wir

\(e^{i\phi}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{(i\phi)^k}{k!}=1+i\phi-\dfrac{\phi^2}{2!}-\dfrac{i\phi^3}{3!}+\dfrac{\phi^4}{4!}+\dfrac{i\phi^5}{5!}-\dfrac{\phi^6}{6!}+\dots\)

Jetzt sortieren wir die Summanden. Vorne alle ohne \(i\) und hinten alle mit \(i\)

\(e^{i\phi}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{(i\phi)^k}{k!}=\left(1-\dfrac{\phi^2}{2!}+\dfrac{\phi^4}{4!}\dots\right)+\left(i\phi-\dfrac{i\phi^3}{3!}+\dfrac{i\phi^5}{5!}\dots\right)\)

Im hinteren Teil können wir \(i\) ausklammern.

\(e^{i\phi}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{(i\phi)^k}{k!}=\left(1-\dfrac{\phi^2}{2!}+\dfrac{\phi^4}{4!}-\dots\right)+i\left(\phi-\dfrac{\phi^3}{3!}+\dfrac{\phi^5}{5!}-\dots\right)\)

Wenn du nach oben schaust siehst du: Das sind die Taylorreihen für \(\cos\) und \(\sin\)

Du erhälst final:

\(e^{i\phi}=\cos(\phi)+i\sin(\phi)\)

Und damit

\(r\cdot e^{i\phi}=r(\cos(\phi)+i\sin(\phi))\)        mit        \(r=|z|\)

Du siehst also mit den Ergebnissen aus c)

\(z=a+ib=|z|\cos(\phi)+i\cdot|z|\sin(\phi)=|z|(\cos(\phi)+i\sin(\phi))=|z|e^{i\phi}\)