Es gibt einen relativ schönen Weg, den man aber eigentlich nicht sehen kann. Setze $$I(\alpha)=\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^4+2x^2\cos(2x)+1}.$$ Wir sind interessiert am Wert von \(I(\frac\pi4)\). Substituiert man \(t=\frac1x\), erhält man $$I(\alpha)=\int_{-\infty}^\infty\frac{t^2\,dt}{t^4+2t^2\cos(2\alpha)+1}.$$ Addiert man die beiden Ausdrücke für \(I(\alpha)\), kommt man auf $$I(\alpha)=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{(1+x^2)\,dx}{x^4+2x^2\cos(2x)+1}.$$ Jetzt faktorisiert man den Nenner: \(x^4+2x^2\cos(2x)+1=(x^2-2x\sin\alpha+1)(x^2+2x\sin\alpha+1)\). Weiter ist \(\int_{-\infty}^\infty\frac{-2x\sin\alpha}{x^4+2x^2\cos(2\alpha)+1}\,dx=0\). Damit erhalten wir $$I(\alpha)=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{1+x^2}{(x^2-2x\sin\alpha+1)(x^2+2x\sin\alpha+1)}\,dx-\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{-2x\sin\alpha}{x^4+2x^2\cos(2\alpha)+1}\,dx=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^2+2x\sin\alpha+1}.$$ Dieses Integral ist Standard und einfach zu berechnen. Dann nur noch \(\alpha=\frac\pi4\) einsetzen und fertig.