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hi,

folgendes Problem: ich muss dieses uneigentliche integral mittels Partialbruchzerlegung ermitteln. gibt es hier einen schnelleren Weg als das unbestimmte integral zu bestimmen und dann über den Grenzwert zu gehen?

Danke

gefragt 1 Monat, 4 Wochen her
integrationboy
Punkte: 16

 

Ich sehe hier keinen anderen sinnvollen Weg als die PBZ anzugehen und über mehrere Umformungen zu integrieren. Sieht auf den ersten Blick nicht schön aus.
Edit:
Wie ich gerade "sehe", kann man auch ohne PBZ auf Umformungen kommen. Das macht aber nur Sinn, wenn man schon ungefähr weiß wo man hin soll. Und sowieso etwas Erfahrung mitbringt.
Sicher keine Schönheit^^.
  ─   orthando 1 Monat, 4 Wochen her

Alles klar vielen Dank hab ich mir schon gedacht. Dann muss ich wohl doch über 3 Zettel hinweg integrieren.   ─   integrationboy 1 Monat, 4 Wochen her
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1 Antwort
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Es gibt einen relativ schönen Weg, den man aber eigentlich nicht sehen kann. Setze $$I(\alpha)=\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^4+2x^2\cos(2x)+1}.$$ Wir sind interessiert am Wert von \(I(\frac\pi4)\). Substituiert man \(t=\frac1x\), erhält man $$I(\alpha)=\int_{-\infty}^\infty\frac{t^2\,dt}{t^4+2t^2\cos(2\alpha)+1}.$$ Addiert man die beiden Ausdrücke für \(I(\alpha)\), kommt man auf $$I(\alpha)=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{(1+x^2)\,dx}{x^4+2x^2\cos(2x)+1}.$$ Jetzt faktorisiert man den Nenner: \(x^4+2x^2\cos(2x)+1=(x^2-2x\sin\alpha+1)(x^2+2x\sin\alpha+1)\). Weiter ist \(\int_{-\infty}^\infty\frac{-2x\sin\alpha}{x^4+2x^2\cos(2\alpha)+1}\,dx=0\). Damit erhalten wir $$I(\alpha)=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{1+x^2}{(x^2-2x\sin\alpha+1)(x^2+2x\sin\alpha+1)}\,dx-\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{-2x\sin\alpha}{x^4+2x^2\cos(2\alpha)+1}\,dx=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^2+2x\sin\alpha+1}.$$ Dieses Integral ist Standard und einfach zu berechnen. Dann nur noch \(\alpha=\frac\pi4\) einsetzen und fertig.

geantwortet 1 Monat, 4 Wochen her
stal
Punkte: 1.49K
 
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