Basis des Kerns eines Polynoms bestimmen

Aufrufe: 987     Aktiv: 07.06.2021 um 13:47

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Hey ich habe eine Frage zu der Aufgabe hier:

Und zwar haben wir so eine ähnliche Aufgabe im Tutorium bearbeitet. 
Dort haben wir als erstes die Basen des Kerns(G) und des Bildes(G) bestimmt
und daraus dann mit Basisergänzugen die Basen B und C bestimmt.

Hier möchte ich das Problem ähnlich angehen. Ich habe also die Basis des Bildes(G)
bestimmt (G(1),G(t)) und nun möchte ich auch die Basis des Kerns(G) bestimmen, 
nur weiß ich hier nicht ganz genau, wie das gehen soll, da ich keine allgemeine Abildung gegeben habe.
Ich müsste ja F(f) = 0 für den Kern bestimmen, nur ist F(0) hier nicht definiert.

Mein Ansatz wäre 

4 + 5t - t^2 = 0
-2 + t + t^2 = 0
1 - 11t -2t^2 = 0

in eine Matrix zu überführen und auszurechnen, ist das richtig so?
 

Ich bitte um Hilfe 

Beste Grüße.
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Die Idee, die Abbildungsmatrix zu bestimmen und das zugehörige homogene LGS zu lösen ist schonmal richtig. Nur die Bilder der Basisvektoren sind die Spalten der Abbildungsmatrix und nicht die Zeilen, das kann man auch gut nachvollziehen wenn man eine Matrix mit den Einheitsvektoren multipliziert. Vielleicht fällt dir die Aufgabe auch leichter, wenn du diese Berechnung mit den korrespondierenden Vektoren des \(\mathbb{R}^3\) löst. Hier wäre eine Abbildungsmatrix gegeben durch \(A=((4,5,-1)^t,(-2,1,1)^t,(1,-11,-2)^t)\)
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Danke erstmal für deine Antwort.

Ich habe nun Lös(A/0) = X3*(3/2, 7/2, 1)^T berechnet, dass müsste ja dann genau der Kern(F) sein.
Und ich habe das Bild(F) bestimmt, was ja eben genau der Spaltenraum von A ist.
Nun ergibt sich aus der Dimensionsformel aber dim(F) = dimKern(F) + dimBild(F) = 1 + 3 = 4 aber die dim(F) ist doch 3, da wir uns im R(t)2 befinden.
Weißt du zufällig wo mein Fehler liegt?

MfG
  ─   hendriksdf5 07.06.2021 um 10:56

Der Spaltenraum von A ist ja (4 -2 1)^T (5 1 -11)^T (-1 1 -2)^T = Bild(F)

Also müsste sich aus der Dimensionsformel dim(F)=dim(Kern(F))+dim(Bild(F)) => 3 = 0 + 3 => Kern(F) = 0.
Also habe ich mich vielleicht verrechnet?

Mit F meine ich natürlich die Abbildung G ^^
  ─   hendriksdf5 07.06.2021 um 11:07

Richtig, du hast dich verrechnet. Der Kern hat die Dimension von \(1\). Das Bild ist wie du sagst, von den Spalten aufgespannt, da diese jedoch linear abhängig sind (sagt ja schließlich das LGS), hast du einen Rangverlust. In ZSF sieht man, dass der Rang \(2\) ist und das passt, da die Dimension des Bildes der Rang ist.   ─   mathejean 07.06.2021 um 13:47

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