Untermannigfaltigkeiten

Aufrufe: 320     Aktiv: 25.01.2021 um 20:04
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Hallo Leute,

ich habe sehr viele Schwierigkeiten mit dem Thema Untermannigfaltigkeiten und höre zurzeit Ana2 .

Ich versuche es mir selber durch paar Beispielbilder zu erklären, aber so ganz habe ich es immer noch nicht verstanden leider.

Ich habe eine Aufgabe, die ich lösen möchte und verstehe es vllt dann: 

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Sei f: R-->R eine C1-Funktion (stetig differenzierbarkeit ist also gegeben) und  Γ der Graph von f.Sei A= {(x,y) ∈ 𝖱 | y=0} die Menge aller Punkte auf der x-Achse.

a) zu zeigen ist, dass Γ ⋃ A im Allgemeinen keine Untermannigfaltigkeit des R^{2} ist.

b) Geben Sie eine hinreichende Bedingung in Bezug auf f an, unter der Γ ∪ A eine Unter-

mannigfaltigkeit des R2 ist. Beweisen Sie Ihre Aussage.

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ich würde bei a) sagen, dass dies keine UM ist, weil wir Probleme in Nullpunkt bekommen, da wir für 0 keine Umgebung U finden,da sonst auch die y-Achse mit in der Umgebung wäre und die -y-Achse( falls ich natürlich mit meiner vermutung richtig liege)

Aber ich weiß nicht, wie ich das Ganze formal aufschreiben kann.Ich brauche dringend Hilfe !!

Bei b) komme ich leider überhaupt nicht weiter :(

 

Danke im Voraus 

 

Mit freundlichen Grüßen

Victoria

 

 

 

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Der Graph \(\Gamma\) einer \(C^1\)-Funktion ist für sich genommen eine Untermannigfaltigkeit. Das habt Ihr wohl schon bewiesen. Dasselbe gilt also auch für \(A\), denn diese Menge ist der Graph der Nullfunktion. In a) ist also zu zeigen, dass die Vereinigung eines beliebigen Graphen \(\Gamma\) mit \(A\) nicht immer eine Untermannigfaltigkeit ist. Deine Vermutung mit dem Nullpunkt stimmt nicht, denn z.B. ist \(A\cup A=A\) eine Untermannigfaltigkeit, es gibt im Nullpunkt keine Probleme. Hier solltest Du ein konkretes Beispiel für \(f\) angeben, bei dem \(\Gamma\cup A\) keine Untermannigfaltigkeit ist, wo also, salopp gesprochen, nicht jeder Punkt von \(\Gamma\cup A\) eine Umgebung besitzt, in der \(\Gamma\cup A\) wie eine einfache Kurve aussieht. Kommst Du jetzt schon darauf, was das entscheidende ist?

Falls nicht, dann helfe ich gerne weiter, auch bei b).

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Ich komme leider nicht weiter bzw ich kann mir das Ganze gerade glaube ich bildlich nicht ganz vorstellen :(
Also ich versuche es mal : Ich habe eine Funktion f und Γ ist der Graph davon (?) aber ich habe ja nur Punkte auf meiner x-Achse, da y=0 ist. das heißt eig 1-dim. und wenn ich um die Punkte meine Umgebung einzeichne (Kreise) das nur alles auf der x-Achse ..... ich weiß gar nicht, ob ich mir das bildlich überhaupt richtig vorgestellt habe.Ich denke brauche weiterhin Hilfe !
   ─   victoria1995 25.01.2021 um 19:16
Du musst Dir Bilder malen, sonst geht es nicht. So: Eine \(1\)-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist eine Menge, die in jedem Punkt wie eine Kurve aussieht (das kann auch eine gerade Linie sein). Die Menge kann aber aus mehreren Teilen (Kurven) bestehen. Ein Graph über einem Intervall ist eine spezielle Kurve, wo zu jedem Punkt auf der \(x\)-Achse die Senkrechte in diesem Punkt genau einen Schnittpunkt mit der Kurve hat, nämlich in \((x,f(x))\). Ein Kreis um \((x,f(x))\) trifft einen kleinen Ausschnitt der Kurve, und dieser Ausschnitt ist selber eine Kurve. Für die Funktion \(f\equiv0\) ist der Graph die \(x\)-Achse. Diese erfüllt alle eben genannten Bedingungen. Ein Problem tritt erst auf, wenn man zwei solche Kurven einzeichnet. Dann kann es passieren, dass das Ergebnis (die Vereinigung der Punktmengen der Kurven) keine \(1\)-dimensionale Untermannigfaltigkeit mehr ist, dass sie also nicht mehr in der Nähe jedes Punktes wie eine Kurve aussieht. Zeichne selber mal ein paar Fälle. Du merkst schnell, wann es Probleme gibt. Leider kann ich hier nicht selber ein Bild einfügen.   ─   slanack 25.01.2021 um 19:39
Okey , ich versuche das mal eben zu zeichnen und hoffe, dass ich es nach endlicher Zeit auch mal verstehe.
Vielen lieben Dank für die schnelle Antwort !   ─   victoria1995 25.01.2021 um 20:04

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