Newtonscher Binomialsatz

Aufrufe: 149     Aktiv: 04.09.2022 um 16:09

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Wie kann ich diese Identität beweisen: 
?

Kann jemand Tipps geben, ohne es vorzusagen?
Vielen Dank im Voraus.
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Du sollst etwas für alle $n\in N_0$ zeigen. Da darfst Du schonmal selbst drauf kommen, nach welchem Beweisverfahren das ruft.
Dabei ist dann auch das Additionstheorem für Binomialkoeffizienten nützlich. Der Rest ist Bastelfreude, die man Dir nicht nehmen sollte. Wenn Du - nach einigem Bemühen - hängen bleiben solltest, poste Deine Rechnung mit konkreten Fragen.
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Ich habe es mit vollständiger Induktion versucht: Für den Induktionsanfang habe ich $n=0$ gewählt:
Linke Seite: $\sum_{k=0}^{\infty}$ $k \choose k$ $X^k$ = $\sum_{k=0}^{\infty}$ $X^k$ (nach unserem VL-Skript) = $\frac{1}{1-X}$ = $\frac{1}{(1-X)^{0+1}}$ (rechte Seite)

Induktionsvorauss.: Aussage gilt für ein $n \in \mathbb{N_0}$.

Induktionsschritt: $n \rightarrow n+1$
$\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k+1 \choose k$ $X^k$

Hier hänge ich fest, da ich nicht weiß, wie ich $\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k \choose k$ $X^k$ rausziehen kann, damit ich dafür $\frac{1}{1-X}$ einsetzen kann.



  ─   huhu123 31.08.2022 um 14:31

Soweit gut. Zum weiteren steht oben nach ein Tipp in meiner Antwort. Konzentrier den Blick auf die Binomialkoeffizienten - die Summe und die Potenzen von $X$ sind nicht das Problem.   ─   mikn 31.08.2022 um 14:34

Danke für Deine schnelle Antwort. Du hast mir den Tipp "Additionstheorem für Binomialkoeffizienten" gegeben: Der lautet $n+1 \choose k$ = $n \choose k-1$+$n \choose k$

Ist es in meinem Fall $n+k \choose k$ = $n \choose k-k$+$n \choose k$ ? Dann hätte ich $n+k \choose k$ = $1$+$n \choose k$
  ─   huhu123 31.08.2022 um 14:39

Wende es richtig an. Schreib es dir vorher mit u und v hin, nicht mit n und k. Beachte das Muster in der Regel.   ─   mikn 31.08.2022 um 17:16

Ich habs mal mit u und v umgeschrieben und habe es auf $n+k+1 \choose k$ angewendet: $n+k+1 \choose k$ = $n+k \choose k-1$+ $n+k \choose k$.
Falls es stimmt habe ich nun im Induktionsschritt: $\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k+1 \choose k$ $X^k$ = $\sum_{k=0}^{\infty}$ ($n+k \choose k-1$+ $n+k \choose k$ )$X^k$ = $\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k \choose k-1$ $X^k$ + $n+k \choose k$ $X^k$ = $\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k \choose k-1$ $X^k$ + $\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k \choose k$ $X^k$ .

$\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k \choose k$ $X^k$ ist ja nach IV. $\frac{1}{(1-X)^{n+1}}$.

Jetzt hänge ich aber fest bei $\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k \choose k-1$ $X^k$.
  ─   huhu123 03.09.2022 um 23:38

Setze $Y:=\sum_{k=0}^\infty \binom{n+k+1}{k}X^k$. Dann ist $Y=...$ s.o.. Beachte aber, dass die Aufteilung des BK nur für $k\ge 1$ gilt. Schreibe also die Summe so um, dass die Aufteilung anwendbar wird. Dann 1. Einbringen der IV und 2. Indexverschiebung bei der anderen Summe und Umschreiben dieser mit $Y$. Dann Auflösen der Gleichung $Y=...$ nach $Y$.   ─   mikn 04.09.2022 um 01:16

Ich habe es glaube ich verstanden:
(Wie Du bereits gesagt hast)
Sei $Y:= \sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k+1 \choose k$$X^k$
= $\sum_{k=1}^{\infty}$ $n+k+1 \choose k$$X^k$ +$n+1 \choose 0$
= $\sum_{k=1}^{\infty}$ $n+k+1 \choose k$$X^k +1$
= $\sum_{k=1}^{\infty}$ ($n+k \choose k-1$+$n+k \choose k$)$X^k +1$
= $\sum_{k=1}^{\infty}$ $n+k \choose k-1$$X^k$ + $\sum_{k=1}^{\infty}$ $n+k \choose k$$X^k+1$
= $\sum_{k=1}^{\infty}$ $n+k \choose k-1$$X^k$ + $\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k \choose k$$X^k$-$n \choose 0$$+1$
= $\sum_{k=1}^{\infty}$ $n+k \choose k-1$$X^k$ + $\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k \choose k$$X^k$$-1$$+1$
(IV)
= $\sum_{k=1}^{\infty}$ $n+k \choose k-1$$X^k$ + $\frac{1}{(1-X)^{n+1}}$
= $\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k+1 \choose k$$X^{k+1}$ + $\frac{1}{(1-X)^{n+1}}$
= $Y*X$+ $\frac{1}{(1-X)^{n+1}}$

Insgesamt: $Y=Y*X+ \frac{1}{(1-X)^{n+1}}$
$\Leftrightarrow$ $Y-Y*X= \frac{1}{(1-X)^{n+1}}$
$\Leftrightarrow$ $Y(1-X)= \frac{1}{(1-X)^{n+1}}$
$\Leftrightarrow$ $Y= \frac{1}{(1-X)^{n+2}}$

Was zu zeigen war.
  ─   huhu123 04.09.2022 um 14:18

Gut. Genauso meinte ich es. Vielleicht gibt es auch noch einen anderen Weg, aber so geht es jedenfalls.   ─   mikn 04.09.2022 um 14:43

Vielen Dank für die tolle Hilfe!   ─   huhu123 04.09.2022 um 16:09

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