Newtonscher Binomialsatz

Aufrufe: 614     Aktiv: 04.09.2022 um 16:09

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Wie kann ich diese Identität beweisen: 
?

Kann jemand Tipps geben, ohne es vorzusagen?
Vielen Dank im Voraus.
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Du sollst etwas für alle $n\in N_0$ zeigen. Da darfst Du schonmal selbst drauf kommen, nach welchem Beweisverfahren das ruft.
Dabei ist dann auch das Additionstheorem für Binomialkoeffizienten nützlich. Der Rest ist Bastelfreude, die man Dir nicht nehmen sollte. Wenn Du - nach einigem Bemühen - hängen bleiben solltest, poste Deine Rechnung mit konkreten Fragen.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.36K

 

Ich habe es mit vollständiger Induktion versucht: Für den Induktionsanfang habe ich $n=0$ gewählt:
Linke Seite: $\sum_{k=0}^{\infty}$ $k \choose k$ $X^k$ = $\sum_{k=0}^{\infty}$ $X^k$ (nach unserem VL-Skript) = $\frac{1}{1-X}$ = $\frac{1}{(1-X)^{0+1}}$ (rechte Seite)

Induktionsvorauss.: Aussage gilt für ein $n \in \mathbb{N_0}$.

Induktionsschritt: $n \rightarrow n+1$
$\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k+1 \choose k$ $X^k$

Hier hänge ich fest, da ich nicht weiß, wie ich $\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k \choose k$ $X^k$ rausziehen kann, damit ich dafür $\frac{1}{1-X}$ einsetzen kann.



  ─   huhu123 31.08.2022 um 14:31

Danke für Deine schnelle Antwort. Du hast mir den Tipp "Additionstheorem für Binomialkoeffizienten" gegeben: Der lautet $n+1 \choose k$ = $n \choose k-1$+$n \choose k$

Ist es in meinem Fall $n+k \choose k$ = $n \choose k-k$+$n \choose k$ ? Dann hätte ich $n+k \choose k$ = $1$+$n \choose k$
  ─   huhu123 31.08.2022 um 14:39

Ich habs mal mit u und v umgeschrieben und habe es auf $n+k+1 \choose k$ angewendet: $n+k+1 \choose k$ = $n+k \choose k-1$+ $n+k \choose k$.
Falls es stimmt habe ich nun im Induktionsschritt: $\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k+1 \choose k$ $X^k$ = $\sum_{k=0}^{\infty}$ ($n+k \choose k-1$+ $n+k \choose k$ )$X^k$ = $\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k \choose k-1$ $X^k$ + $n+k \choose k$ $X^k$ = $\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k \choose k-1$ $X^k$ + $\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k \choose k$ $X^k$ .

$\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k \choose k$ $X^k$ ist ja nach IV. $\frac{1}{(1-X)^{n+1}}$.

Jetzt hänge ich aber fest bei $\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k \choose k-1$ $X^k$.
  ─   huhu123 03.09.2022 um 23:38

Ich habe es glaube ich verstanden:
(Wie Du bereits gesagt hast)
Sei $Y:= \sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k+1 \choose k$$X^k$
= $\sum_{k=1}^{\infty}$ $n+k+1 \choose k$$X^k$ +$n+1 \choose 0$
= $\sum_{k=1}^{\infty}$ $n+k+1 \choose k$$X^k +1$
= $\sum_{k=1}^{\infty}$ ($n+k \choose k-1$+$n+k \choose k$)$X^k +1$
= $\sum_{k=1}^{\infty}$ $n+k \choose k-1$$X^k$ + $\sum_{k=1}^{\infty}$ $n+k \choose k$$X^k+1$
= $\sum_{k=1}^{\infty}$ $n+k \choose k-1$$X^k$ + $\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k \choose k$$X^k$-$n \choose 0$$+1$
= $\sum_{k=1}^{\infty}$ $n+k \choose k-1$$X^k$ + $\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k \choose k$$X^k$$-1$$+1$
(IV)
= $\sum_{k=1}^{\infty}$ $n+k \choose k-1$$X^k$ + $\frac{1}{(1-X)^{n+1}}$
= $\sum_{k=0}^{\infty}$ $n+k+1 \choose k$$X^{k+1}$ + $\frac{1}{(1-X)^{n+1}}$
= $Y*X$+ $\frac{1}{(1-X)^{n+1}}$

Insgesamt: $Y=Y*X+ \frac{1}{(1-X)^{n+1}}$
$\Leftrightarrow$ $Y-Y*X= \frac{1}{(1-X)^{n+1}}$
$\Leftrightarrow$ $Y(1-X)= \frac{1}{(1-X)^{n+1}}$
$\Leftrightarrow$ $Y= \frac{1}{(1-X)^{n+2}}$

Was zu zeigen war.
  ─   huhu123 04.09.2022 um 14:18

Vielen Dank für die tolle Hilfe!   ─   huhu123 04.09.2022 um 16:09

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.