Moin Lena.
Fangen wir an und berechnen ersteinmal den Flächeninhalt eines kleinen gelben Dreieckes.
Es gilt: \(A_{gelbes\ Dreieck}=\dfrac{1}{2}\cdot x\cdot h\)
Außerdem gilt in dem Dreieck: \(\sin\alpha=\dfrac{h}{b}\) und \(\cos\alpha = \dfrac{x}{b}\)
Somit folgt nach umstellen und einsetzen: \(A_{gelbes\ Dreieck}=\dfrac{1}{2}\cdot x\cdot h=\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot \cos\alpha \cdot b\sin\alpha=\dfrac{1}{2}\cdot b^2\cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha\)
Für den Flächeninhalt des mittleren Rechteckes gilt folglich: \(A_{Rechteck}=b\cdot h=b\cdot b\cdot \sin\alpha=b^2\cdot \sin\alpha\)
Jetzt müssen wir das nur noch alles zusammenfügen. Für den gesamten Flächeninhalt des Querschnittes gilt nun:
\(A(\alpha)=2\cdot A_{gelbes \ Dreieck}+A_{Rechteck}=2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot b^2\cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha+b^2\cdot \sin\alpha =b^2\left[ \sin\alpha \cos\alpha +\sin\alpha \right] \)
\(\dfrac{dA(\alpha)}{d\alpha}\) ist die Ableitung des Flächeninhaltes nach dem Winkel. Das bekommst du sicher jetzt alleine hin! Du wirst sehen, dass das Ergebnis der gegebenen Formel entspricht.
Grüße
Student, Punkte: 9.96K
Probiere doch einmal die Formel per Hand abzuleiten oder schaue, wie du das Ergebnis vom Ableitungsrechner noch umformen kannst. ─ 1+2=3 05.10.2020 um 16:53
Muss ich dann zwei mal die Produktregel anwenden?!?! ─ lenaannafrank 05.10.2020 um 17:01
b² ( cos²(a) - sin²(a) + cos(a)) weiter weiß ich nicht. ─ lenaannafrank 05.10.2020 um 17:11
woher kommt dann die 2 und cos²(a) ?
muss ja b²(2*cos²(a) + cos(a) -1) ─ lenaannafrank 05.10.2020 um 17:21
Außerdem müsste nicht 2 mal das Dreieck in Klammern stehen?
2 *( 1/2 * b² *sin a * cos a)????
─ lenaannafrank 05.10.2020 um 16:45