Allgemeine Lösung für Exponentialfunktionen mit Endwert

Erste Frage Aufrufe: 89     Aktiv: 07.11.2022 um 13:45

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Hey in die Runde,

ich suche nach der Lösung zu folgendem Problem und hoffe auf ein wenig Hilfe des Schwarmwissens.

Basierend auf zwei gegebenen Punkten möchte ich die die Funktionsgleichung f(t)= a*(1-e^(-t/b)) allgemein lösen.

Gegeben sind also:

Punkt1: (t1|f(t1)) und Punkt2: (t2|f(t2)) woraus sich

f(t1) = a*(1-e^(-t1/b)) bzw. f(t2) = a*(1-e^(-t2/b))

Gesucht sind nun die allgemeinen Ausdrücke für a und b in Abhängigkeit der Punkte 1 und 2 in der Form

a = f(t1,t2,f(t1),f(t2))
b = f(t1,t2,f(t1),f(t2))

Die Umformungen, die ich bisher vorgenommen habe, führen nur zu keinen plausiblen Ergebnissen, sodass ich glaube, dass ich einen Fehler mache, den ich selbst aber nicht sehe. Hier mein Ansatz:

Lösen durch Quotientenverfahren:

(1) R = (1-e^(-t1/b)) / (1-e^(-t2/b)) mit R = f(t1) / f(t2)

(2) R * (1-e^(-t2/b)) = (1-e^(-t1/b))

(3) R - R*e^(-t2/b) = 1-e^(-t1/b)

(4) R - 1 = R*e^(-t2/b) - e^(-t1/b)

(5) ln(R-1) = ln(R) + ln(e^(-t2/b)) - ln(e^(-t1/b)) = ln(R) - t2/b + t1/b

(6) ln(R-1) - ln(R) = t1/b + t2/b

(7) b = (t1-t2)/(ln(R-1) - ln(R))

=> a = f(t1) / (1-e^(-t1/b))

Für eine Durchsicht und das Finden von falschen Annahmen/Umformungen bin ich sehr dankbar. 

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Erstmal hast Du den Namen $f$ zweimal vergeben. Es gibt noch genügend Buchstaben im Alphabet, das ist nicht nötig. Die gesuchte Funktion solltest Du anders nennen (in der 2. und 3. fett gedruckten Zeile).
Dann hast Du von (4) nach (5) die Regel $\ln (a-b)=\ln a-\ln b$ angewendet, die gibt es aber nicht. Daher ist der Schritt falsch.
Dein Problem ist nicht durch Umformen lösbar (es sei denn einer der $t$-Werte ist 0). Das einzige, was Du machen kannst, ist aus Gleichung (4) numerisch (z.B. mit Newton-Verfahren) einen Wert für $b$ bestimmen. Und damit dann aus der letzten fett gedruckten Zeile den zugehörigen Wert für $a$ finden.
Übrigens ist es einfacher, und vielleicht auch lesbarer, wenn Du nächstes Mal Deine handschriftliche Rechnung als Foto hochlädst (oben "Frage bearbeiten").
Üblicherweise sagt man übrigens $y_1=a (1-e^{-t_1b})$ und dann kommt an dieser Stelle kein $f$ vor.
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