(Gruppen)Homomorphismus zeigen

Aufrufe: 57     Aktiv: 05.07.2021 um 21:39

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Aufgabenstellung: Sei ϕ : G → H ein (Gruppen)Homomorphismus. Zeigen Sie, dass ϕ(g−1) = ϕ(g)−1 für g  G
 
Die Aufgabe ist aus meiner Klausur, leider ist die Aufgabe als falsch oder unzureichend beantwortet markiert worden.

Also ich weiß, dass: (g −1 ) ^(−1) = g ∀ g ∈ G, aber das bringt mich nicht weiter. In meinem Skript finde ich ansonsten keine weiteren Ansätze oder Ideen wie ich das zeigen soll.

Ich freue mich über Hilfe.
Vielen Dank.
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Seien \(e\) und \(e'\) die neutralen Elemente von \(G\) und \(H\). In einer andere Frage habe ich dir gezeigt, dass \(\Phi(e)=e'\) gilt. Hieraus folgt unmittelbar \(e'=\Phi(e)=\Phi(g\circ g^{-1})=\Phi(g)\circ \Phi(g^{-1})\). Folglich ist \(\Phi(g^{-1})\) invers zu \(\Phi(g)\). Aus der Eindeutigkeit des inversen Elementes folgt dann unmittelbar \(\Phi(g^{-1})=\Phi(g)^{-1}\).
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