Man kann ja die Gerade L disjunkt in abzählbar unendlich viele endliche Strecken aufteilen (z.B. mit der Parameterdarstellung).

Wenn man nun zeigt, dass endlichen Strecken das Maß 0 hat, ist man fertig, denn im Wiki-Artikel Maß, Abschnitt "Definition", Punkt "\(\sigma\)-Additivität" steht eine entsprechende Formel.

Wenn ich eine Strecke s mit den Endpunkten \(P_1=(x_1,y_1)\) und \(P_2=(x_2,y_2)\) habe, dann kann ich diese in das achsenparallele Rechteck mit Eckpunkten \(P_1, P_2\) einhüllen. Dieses hat dann das L-Maß \(A=|x_1-x_2| \cdot |y_1-y_2|\).

Ich kann diese Strecke s nun in N gleich lange Teilstrecken aufteilen und diese jeweils mit einem achsenparallelen Rechteck überdecken. Diese Rechtecke haben einen Flächeninhalt von jeweils \(\displaystyle \frac{|x_1-x_2|}{n} \cdot \frac{|y_1-y_2|}{n} = \frac{A}{n^2}\). In der Summe haben diese Rechtecke eine Fläche von \(\displaystyle \frac{A}{n} < \varepsilon \) für hinreichend große n.

Wegen dem von Dir zitierten Satz gilt dann \(\mu(s)=0\).

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